Cálculo Exemplos

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $e^{x} (y - 1) d x$ dos dois lados da equação.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $e^{x} + 4$ .

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3.5

Cancele o fator comum de $y - 1$ .

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Etapa 3.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ para o numerador.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3.5.2

Fatore $y - 1$ de $(e^{x} + 4) (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Etapa 3.5.3

Fatore $y - 1$ de $e^{x} (y - 1)$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Etapa 3.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Etapa 3.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Etapa 3.6

Combine $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ e $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $2$ é constante com relação a $y$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4.2.2

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Deixe $u_{1} = y - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Diferencie $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Etapa 4.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 4.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Etapa 4.2.2.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.2.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4.2.3

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4.2.4

Simplifique.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = e^{x} + 4$ . Depois, $d u_{2} = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = e^{x} + 4$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.3.2.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.2.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x} + 0$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Some $e^{x}$ e $0$ .

$e^{x}$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.5

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Simplifique $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| y - 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Etapa 5.2.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| y - 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Etapa 5.2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Etapa 5.2.1.3

Reordene os fatores em $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ .

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Etapa 5.3

Expanda $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ como $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Etapa 5.3.2

Expanda $\ln ({(y - 1)}^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Etapa 5.4

A equação expandida é $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Etapa 5.5

Subtraia $\ln (| e^{x} + 4 |)$ dos dois lados da equação.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ por $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $\ln (y - 1)$ por $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Etapa 5.7

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Etapa 5.8

Reescreva $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Etapa 5.9

Resolva $y$ .

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Etapa 5.9.1

Reescreva a equação como $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Etapa 5.9.2

Simplifique $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

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Etapa 5.9.2.1

Reescreva.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Etapa 5.9.2.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Etapa 5.9.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Etapa 5.9.3

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.9.3.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Etapa 5.9.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.9.3.2.1

Divida a fração $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ em duas frações.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Etapa 5.9.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Etapa 6.2

Reordene os termos.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Etapa 6.3

Reescreva $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ como $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ .

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Etapa 6.4

Reordene $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ e $e^{C}$ .

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$