Cálculo Exemplos

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y - 7 d x = 0$

Etapa 1

Some $7 d x$ aos dois lados da equação.

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y = 7 d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $1 - x^{2}$ de $(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) (\cos (3 y))) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Etapa 3.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1^{2} - x^{2}} \cdot 7 d x$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} \cdot 7 d x$

Etapa 3.3

Combine $\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ e $7$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \cos (3 y) d y = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 3 y$ . Depois, $d u_{1} = 3 d y$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 3 y$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Etapa 4.2.1.1.2

Como $3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 y$ em relação a $y$ é $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 4.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 4.2.1.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2.2

Combine $\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{3} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 y$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $7$ é constante com relação a $x$ , mova $7$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Etapa 4.3.2

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Etapa 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.5

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1

Cancele o fator comum de $1 + x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.1.2

Divida $(A) (1 - x)$ por $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.5

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.6.5.1

Cancele o fator comum.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.1.6.5.2

Divida $(B) (1 + x)$ por $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Etapa 4.3.2.1.6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Etapa 4.3.2.1.6.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.7.1

Mova $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Etapa 4.3.2.1.7.3

Mova $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Etapa 4.3.2.1.7.4

Mova $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Etapa 4.3.2.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Etapa 4.3.2.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Etapa 4.3.2.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $0 = - 1 A + B$ por $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1

Simplifique $- 1 (1 - B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3

Resolva $B$ em $0 = - 1 + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.3

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = 1$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{1}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.4.2.1.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.3.5

Liste todas as soluções.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Etapa 4.3.2.5.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Etapa 4.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.5

Deixe $u_{2} = 1 + x$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Deixe $u_{2} = 1 + x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1.1

Diferencie $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Etapa 4.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.5.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.5.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 1$

Etapa 4.3.5.1.5

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.3.5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.6

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Etapa 4.3.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Etapa 4.3.8

Deixe $u_{3} = 1 - x$ . Depois, $d u_{3} = - d x$ , então, $- d u_{3} = d x$ . Reescreva usando $u_{3}$ e $d$ $u_{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1

Deixe $u_{3} = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{3}$ e $d u_{3}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 4.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Etapa 4.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{3}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Etapa 4.3.11

A integral de $\frac{1}{u_{3}}$ com relação a $u_{3}$ é $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Etapa 4.3.12

Simplifique.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 4.3.13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 4.3.13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Etapa 4.3.14

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C_{4}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique as expressões na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sin (3 y)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + x |)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Etapa 5.1.2.1.1.2

Combine $\ln (| 1 - x |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Etapa 5.1.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 \frac{\ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Etapa 5.1.2.1.3

Combine $7$ e $\frac{\ln (| 1 + x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Etapa 5.1.2.1.4

Multiplique $7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2})$ .

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Etapa 5.1.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - 7 \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Etapa 5.1.2.1.4.2

Combine $- 7$ e $\frac{\ln (| 1 - x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Etapa 5.1.2.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ por $6$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ por $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot 6 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 (2)) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 \cdot 2) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\sin (3 y) \cdot 2 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \sin (3 y) = 7 \ln (| 1 + x |) \cdot 3 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.2

Multiplique $3$ por $7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2}$ para o numerador.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 (3)) + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.3.4

Reescreva a expressão.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 7 \ln (| 1 - x |) \cdot 3 + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.4

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + C \cdot 6$

Etapa 5.2.3.1.5

Mova $6$ para a esquerda de $C$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Simplifique $21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$ .

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Etapa 5.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1.1

Simplifique $21 \ln (| 1 + x |)$ movendo $21$ para dentro do logaritmo.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Etapa 5.3.1.1.2

Simplifique $- 21 \ln (| 1 - x |)$ movendo $21$ para dentro do logaritmo.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - \ln ({| 1 - x |}^{21}) + 6 C$

Etapa 5.3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \sin (3 y) = \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 6 C$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) = - 2 \sin (3 y) + 6 C$

Etapa 5.5

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 2 \sin (3 y) + 6 C = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$

Etapa 5.6

Subtraia $6 C$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$

Etapa 5.7

Divida cada termo em $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.7.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Etapa 5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Etapa 5.7.2.1.2

Divida $\sin (3 y)$ por $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Etapa 5.7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.7.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Etapa 5.7.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 2$ .

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Etapa 5.7.3.1.2.1

Fatore $- 2$ de $- 6 C$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2}$

Etapa 5.7.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.7.3.1.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 (1)}$

Etapa 5.7.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{3 C}{1}$

Etapa 5.7.3.1.2.2.4

Divida $3 C$ por $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C$

Etapa 5.8

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do seno.

$3 y = \arcsin (\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C)$

Etapa 5.9

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.9.1.1

Reescreva $\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2}$ como $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ .

$3 y = \arcsin (\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 3 C)$

Etapa 5.9.1.2

Simplifique $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ movendo $\frac{1}{2}$ para dentro do logaritmo.

$3 y = \arcsin (\ln ({(\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}^{\frac{1}{2}}) + 3 C)$

Etapa 5.9.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Etapa 5.9.1.4

Multiplique os expoentes em ${({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.9.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21 (\frac{1}{2})}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Etapa 5.9.1.4.2

Combine $21$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Etapa 5.9.1.5

Multiplique os expoentes em ${({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 5.9.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{21 (\frac{1}{2})}}) + 3 C)$

Etapa 5.9.1.5.2

Combine $21$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$

Etapa 5.10

Divida cada termo em $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.10.1

Divida cada termo em $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Etapa 5.10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.10.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Etapa 5.10.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + C)}{3}$