Cálculo Exemplos

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $d x$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.3.3

Reescreva a expressão.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Etapa 3.4

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $- 1$ .

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $3$ é constante com relação a $y$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.2.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ como $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.2.3.2.3

Multiplique $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.3.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Etapa 4.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Etapa 4.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.3.4.1

Reescreva $- (- x^{- 1} + C_{2})$ como $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 4.3.4.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 4.3.4.2.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

Etapa 5.2

Simplifique $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ .

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Etapa 5.2.1

Para escrever $K$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

Etapa 5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

Etapa 5.2.3

Reescreva $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ como $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 5.2.4

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.2.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ por $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.2.5.2

Eleve $\sqrt[3]{x}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Etapa 5.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Etapa 5.2.5.4

Some $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Etapa 5.2.5.5

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ como $x$ .

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Etapa 5.2.5.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Etapa 5.2.5.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Etapa 5.2.5.5.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.2.5.5.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.2.5.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Etapa 5.2.5.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Etapa 5.2.5.5.5

Simplifique.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Etapa 5.2.6

Reescreva ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ como $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Etapa 5.2.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

Etapa 5.2.8

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$