Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 - x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - x} y^{2}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{1 - x} y^{2})$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $y^{2}$ de $\frac{x^{2}}{1 - x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x^{2}}{1 - x})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x^{2}}{1 - x})$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 - x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 - x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Reordene $1$ e $- x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{- x + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Divida $x^{2}$ por $- x + 1$ .

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Etapa 2.3.2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 2.3.2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				+	$x^{2}$	-	$x$

Etapa 2.3.2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{2} - x$ .

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$

Etapa 2.3.2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$

Etapa 2.3.2.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				-	$x$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Etapa 2.3.2.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$

Etapa 2.3.2.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						+	$x$	-	$1$

Etapa 2.3.2.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$

Etapa 2.3.2.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$x$	-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
				-	$x^{2}$	+	$x$
						+	$x$	+	$0$
						-	$x$	+	$1$
								+	$1$

Etapa 2.3.2.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - x - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 2.3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 1 d x + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 2.3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 2.3.8

Deixe $u = - x + 1$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.8.1

Deixe $u = - x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.3.8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 2.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} + \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - x + C_{3} - (\ln (| u |) + C_{4})$

Etapa 2.3.12

Simplifique.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| u |) + C_{5}$

Etapa 2.3.13

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C_{5}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique $- \frac{1}{2} x^{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$ .

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Etapa 3.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{x^{2}}{2} - x - \ln (| - x + 1 |) + C$

Etapa 3.1.2

Para escrever $- \ln (| - x + 1 |)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - x - \frac{x^{2}}{2} - \ln (| - x + 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 3.1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.3.1

Combine $- \ln (| - x + 1 |)$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| - x + 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 3.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln (| - x + 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Etapa 3.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.4.1

Multiplique $- \ln (| - x + 1 |) \cdot 2$ .

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Etapa 3.1.4.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - 2 \ln (| - x + 1 |)}{2} + C$

Etapa 3.1.4.1.2

Simplifique $- 2 \ln (| - x + 1 |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({| - x + 1 |}^{2})}{2} + C$

Etapa 3.1.4.2

Remova o valor absoluto em ${| - x + 1 |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} + C$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, 1, 2, 1$

Etapa 3.2.2

Como $y, 1, 2, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $y, 1, 2, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $y, 1, 2, 1$ .

Etapa 3.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.5

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.2.6

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.7

O MMC de $1, 1, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 3.2.8

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.9

O MMC de $y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 3.2.10

O MMC de $y, 1, 2, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 y$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} + C$ por $2 y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - x + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} + C$ por $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore $y$ de $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 2 = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = - x (2 y) + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = - 1 \cdot 2 x y + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = - 2 x y + \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = - 2 x y + 2 \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} y + C (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- 2 = - 2 x y + 2 \frac{- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})}{2} y + C (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- 2 = - 2 x y + (- x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2})) y + C (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = - 2 x y - x^{2} y - \ln ({(- x + 1)}^{2}) y + C (2 y)$

Etapa 3.3.3.1.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = - 2 x y - x^{2} y - \ln ({(- x + 1)}^{2}) y + 2 C y$

Etapa 3.3.3.2

Reordene os fatores em $- 2 x y - x^{2} y - \ln ({(- x + 1)}^{2}) y + 2 C y$ .

$- 2 = - 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $- 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$ .

$- 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

Etapa 3.4.2

Fatore $y$ de $- 2 x y - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y$ .

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Etapa 3.4.2.1

Fatore $y$ de $- 2 x y$ .

$y (- 2 x) - x^{2} y - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

Etapa 3.4.2.2

Fatore $y$ de $- x^{2} y$ .

$y (- 2 x) + y (- x^{2}) - y \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

Etapa 3.4.2.3

Fatore $y$ de $- y \ln ({(- x + 1)}^{2})$ .

$y (- 2 x) + y (- x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + 2 C y = - 2$

Etapa 3.4.2.4

Fatore $y$ de $2 C y$ .

$y (- 2 x) + y (- x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

Etapa 3.4.2.5

Fatore $y$ de $y (- 2 x) + y (- x^{2})$ .

$y (- 2 x - x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

Etapa 3.4.2.6

Fatore $y$ de $y (- 2 x - x^{2}) + y (- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2}))$ .

$y (- 2 x - x^{2} - 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

Etapa 3.4.2.7

Fatore $y$ de $y (- 2 x - x^{2} - 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})) + y (2 C)$ .

$y (- 2 x - x^{2} - 1 \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$

Etapa 3.4.3

Reescreva $- 1 \ln ({(- x + 1)}^{2})$ como $- \ln ({(- x + 1)}^{2})$ .

$y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$ por $- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$ por $- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C$ .

$\frac{y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C)}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C} = \frac{- 2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C)}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C} = \frac{- 2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2}{- 2 x - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x) - x^{2} - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.3

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x) - (x^{2}) - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (x^{2})$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2}) - \ln ({(- x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.5

Fatore $- 1$ de $- \ln ({(- x + 1)}^{2})$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2}) - (\ln ({(- x + 1)}^{2})) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.6

Fatore $- 1$ de $- (2 x + x^{2}) - (\ln ({(- x + 1)}^{2}))$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2})) + 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.7

Fatore $- 1$ de $2 C$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2})) - (- 2 C)}$

Etapa 3.4.4.3.8

Fatore $- 1$ de $- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2})) - (- 2 C)$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)}$

Etapa 3.4.4.3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.9.1

Reescreva $- (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)$ como $- 1 (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C)}$

Etapa 3.4.4.3.9.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.9.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$

Etapa 3.4.4.3.9.4

Multiplique $\frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$ por $1$ .

$y = \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) - 2 C}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{2}{2 x + x^{2} + \ln ({(- x + 1)}^{2}) + C}$