Cálculo Exemplos

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

Etapa 1

Some $y d x$ aos dois lados da equação.

$(1 - x) d y = y d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $1 - x$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.1

Fatore $y$ de $(1 - x) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Deixe $u = 1 - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.3.1.1

Deixe $u = 1 - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.3.1.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 4.3.1.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 4.3.2

Divida a fração em diversas frações.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 4.3.4

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Etapa 4.3.5

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Etapa 4.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Etapa 5.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

Etapa 5.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

Etapa 5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.5.1

Multiplique $y$ por $1$ .

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

Etapa 5.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\ln (| y - y x |) = C$

Etapa 5.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

Etapa 5.7

Reescreva $\ln (| y - y x |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - y x |$

Etapa 5.8

Resolva $y$ .

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Etapa 5.8.1

Reescreva a equação como $| y - y x | = e^{C}$ .

$| y - y x | = e^{C}$

Etapa 5.8.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y - y x = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.3

Fatore $y$ de $y - y x$ .

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Etapa 5.8.3.1

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.3.2

Fatore $y$ de $- y x$ .

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.3.3

Fatore $y$ de $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ .

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

Etapa 5.8.5

Divida cada termo em $y (1 - x) = \pm e^{C}$ por $1 - x$ e simplifique.

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Etapa 5.8.5.1

Divida cada termo em $y (1 - x) = \pm e^{C}$ por $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Etapa 5.8.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.5.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x$ .

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Etapa 5.8.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Etapa 5.8.5.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{C}{1 - x}$