Cálculo Exemplos

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y = 5 e^{x}$

Etapa 1

Verifique se o lado esquerdo da equação é o resultado da derivada do termo $(x - 3) y$ .

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = y$ .

$(x - 3) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$(x - 3) y' + y \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$(x - 3) y' + y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 3) y' + y (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.5

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 3) y' + y (1 + 0)$

Etapa 1.6

Some $1$ e $0$ .

$(x - 3) y' + y \cdot 1$

Etapa 1.7

Substitua $\frac{d y}{d x}$ por $y'$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Etapa 1.8

Reordene $y$ e $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Etapa 1.9

Multiplique $y$ por $1$ .

$(x - 3) \frac{d y}{d x} + y$

Etapa 2

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [(x - 3) y] = 5 e^{x}$

Etapa 3

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [(x - 3) y] d x = \int 5 e^{x} d x$

Etapa 4

Integre o lado esquerdo.

$(x - 3) y = \int 5 e^{x} d x$

Etapa 5

Integre o lado direito.

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Etapa 5.1

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$(x - 3) y = 5 \int e^{x} d x$

Etapa 5.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$(x - 3) y = 5 (e^{x} + C)$

Etapa 5.3

Simplifique.

$(x - 3) y = 5 e^{x} + C$

Etapa 6

Divida cada termo em $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ por $x - 3$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $(x - 3) y = 5 e^{x} + C$ por $x - 3$ .

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 3) y}{x - 3} = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 e^{x}}{x - 3} + \frac{C}{x - 3}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{5 e^{x} + C}{x - 3}$