Cálculo Exemplos

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Etapa 1

Assuma que todas as soluções são da forma $y = e^{r t}$ .

Etapa 2

Encontre a equação característica para $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Etapa 2.3

Substitua na equação diferencial.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Etapa 2.4

Remova os parênteses.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Etapa 2.5

Fatore $e^{r t}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Fatore $e^{r t}$ de $3 r^{2} e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Etapa 2.5.2

Fatore $e^{r t}$ de $4 r e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Etapa 2.5.3

Fatore $e^{r t}$ de $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Etapa 2.5.4

Fatore $e^{r t}$ de $- e^{r t}$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.5.5

Fatore $e^{r t}$ de $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ .

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Etapa 2.6

Como as exponenciais nunca podem ser zero, divida ambos os lados por $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Etapa 3

Resolva $r$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.2

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 4$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $r$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.3

Some $16$ e $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 3.3.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.1.3

Some $16$ e $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 3.4.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.4.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.4.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Etapa 3.4.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Etapa 3.4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.3

Some $16$ e $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.4

Reescreva $28$ como $2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Etapa 3.5.3

Simplifique $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.5.5

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.5.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{7}$ .

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Etapa 3.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ .

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Etapa 3.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 3.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Etapa 4

Com os dois valores encontrados de $r$ , duas soluções podem ser construídas.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Etapa 5

Pelo princípio da superposição, a solução geral é uma combinação linear das duas soluções para uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $t$ e $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Etapa 6.2

Combine $t$ e $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$