Cálculo Exemplos

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Etapa 1.2.2

Combine $4$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

Etapa 1.3

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.2

Multiplique $y^{- 2} (y^{2} - 1)$ .

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $y^{- 2}$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.3.1.2

Some $- 2$ e $2$ .

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.3.2

Simplifique $y^{0}$ .

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.3.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $y^{- 2}$ .

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.3.4

Reescreva $- 1 y^{- 2}$ como $- y^{- 2}$ .

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.5

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Simplifique.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.8.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Etapa 2.2.8.2.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ como $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.3.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, y, 1, 1$

Etapa 3.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ por $y$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ por $y$ .

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Como $y$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

Etapa 3.3.2

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

Etapa 3.3.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

Etapa 3.3.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.3.5

Substitua os valores $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6

Simplifique.

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Etapa 3.3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.6.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.3

Reescreva ${(2 x^{2} + K)}^{2}$ como $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.4

Expanda $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.6.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.6.1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.1.2.3

Some $2$ e $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.1.5

Multiplique $K$ por $K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.2

Some $2 x^{2} K$ e $2 K x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.5.2.2

Some $2 K x^{2}$ e $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.6

Multiplique $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.6.1

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.7

Reescreva $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.7.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.6.1.7.1.1

Reescreva $4 x^{4}$ como ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.7.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

Etapa 3.3.6.1.7.1.3

Reescreva o polinômio.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.7.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = 2 x^{2}$ e $b = K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.1.7.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2 x^{2} + K$ e $b = 2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Etapa 3.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

Etapa 3.3.6.3

Simplifique $\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Etapa 3.3.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$