Cálculo Exemplos

$x^{2} \frac{d y}{d x} - y^{2} = 0$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $x^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Combine.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 y^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.1.1

Mova $y^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 2}$ com relação a $y$ é $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.2.3

Reescreva $- y^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x^{- 2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2}$

Etapa 2.3.3

Reescreva $- x^{- 1} + C_{2}$ como $- \frac{1}{x} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \frac{1}{x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y} = - \frac{1}{x} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y, x, 1$

Etapa 3.1.2

Como $y, x, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $y, x, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $y, x, 1$ .

Etapa 3.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.1.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.1.5

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 3.1.6

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.1.7

O fator de $x^{1}$ é o próprio $x$ .

$x^{1} = x$

$x$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.1.8

O MMC de $y^{1}, x^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y x$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \frac{1}{x} + K$ por $y x$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y} = - \frac{1}{x} + K$ por $y x$ .

$- \frac{1}{y} (y x) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y} (y x) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Etapa 3.2.2.1.2

Fatore $y$ de $y x$ .

$\frac{- 1}{y} (y (x)) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Etapa 3.2.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y} (y x) = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Etapa 3.2.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- x = - \frac{1}{x} (y x) + K (y x)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x}$ para o numerador.

$- x = \frac{- 1}{x} (y x) + K (y x)$

Etapa 3.2.3.1.2

Fatore $x$ de $y x$ .

$- x = \frac{- 1}{x} (x y) + K (y x)$

Etapa 3.2.3.1.3

Cancele o fator comum.

$- x = \frac{- 1}{x} (x y) + K (y x)$

Etapa 3.2.3.1.4

Reescreva a expressão.

$- x = - y + K (y x)$

$- x = - y + K y x$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- y + K y x = - x$ .

$- y + K y x = - x$

Etapa 3.3.2

Fatore $y$ de $- y + K y x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Fatore $y$ de $- y$ .

$y \cdot - 1 + K y x = - x$

Etapa 3.3.2.2

Fatore $y$ de $K y x$ .

$y \cdot - 1 + y (K x) = - x$

Etapa 3.3.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot - 1 + y (K x)$ .

$y (- 1 + K x) = - x$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $y (- 1 + K x) = - x$ por $- 1 + K x$ e simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $y (- 1 + K x) = - x$ por $- 1 + K x$ .

$\frac{y (- 1 + K x)}{- 1 + K x} = \frac{- x}{- 1 + K x}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 1 + K x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (- 1 + K x)}{- 1 + K x} = \frac{- x}{- 1 + K x}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1 + K x}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x}{- 1 + K x}$

Etapa 3.3.3.3.2

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (1) + K x}$

Etapa 3.3.3.3.3

Fatore $- 1$ de $K x$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (1) - (- K x)}$

Etapa 3.3.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- K x)$ .

$y = - \frac{x}{- 1 (1 - K x)}$

Etapa 3.3.3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.5.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - - \frac{x}{1 - K x}$

Etapa 3.3.3.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = 1 \frac{x}{1 - K x}$

Etapa 3.3.3.3.5.3

Multiplique $\frac{x}{1 - K x}$ por $1$ .

$y = \frac{x}{1 - K x}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{x}{1 + K x}$