Cálculo Exemplos

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.2

Como $16$ é constante com relação a $t$ , mova $16$ para fora da integral.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t$ com relação a $t$ é $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

Etapa 2.3.5

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Simplifique.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $16$ e $\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

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Etapa 2.3.6.2.2.1

Fatore $2$ de $16$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.6.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.3.6.2.2.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $π$ por $t$ e $- 3$ por $v$ em $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ .

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ .

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique $8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

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Etapa 4.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois a tangente é negativa no segundo quadrante.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

Etapa 4.2.1.1.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

Etapa 4.2.1.1.3

Multiplique $- - 0$ .

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Etapa 4.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

Etapa 4.2.1.2

Some $8 π^{2}$ e $0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

Etapa 4.3

Subtraia $8 π^{2}$ dos dois lados da equação.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

Etapa 5

Substitua $- 3 - 8 π^{2}$ por $K$ em $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $- 3 - 8 π^{2}$ por $K$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$