Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\cos (y) + e^{y}$ .

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $\cos (y) + e^{y}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{5} - 2 x + 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{5} - 2 x + 1) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\cos (y)$ com relação a $y$ é $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2.3

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Etapa 2.2.5

Reordene os termos.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Etapa 2.3.2

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

Etapa 2.3.6

Aplique a regra da constante.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1.1

Combine $\frac{1}{6}$ e $x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Etapa 2.3.7.2

Simplifique.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = x^{6} - x^{2} + x + C_{7}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} + \sin (y) = x^{6} - x^{2} + x + K$