Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 8 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 9$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (8 + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 8 + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 8 + \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 8 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

$y + C_{1} = 8 x + \ln (| x |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$y = 8 x + \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $1$ por $x$ e $9$ por $y$ em $y = 8 x + \ln (| x |) + C$ .

$9 = 8 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$

Etapa 4

Resolva $C$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $8 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 9$ .

$8 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C = 9$

Etapa 4.2

Simplifique $8 \cdot 1 + \ln (| 1 |) + C$ .

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$8 + \ln (| 1 |) + C = 9$

Etapa 4.2.1.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$8 + \ln (1) + C = 9$

Etapa 4.2.1.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$8 + 0 + C = 9$

Etapa 4.2.2

Some $8$ e $0$ .

$8 + C = 9$

Etapa 4.3

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$C = 9 - 8$

Etapa 4.3.2

Subtraia $8$ de $9$ .

$C = 1$

Etapa 5

Substitua $1$ por $C$ em $y = 8 x + \ln (| x |) + C$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $1$ por $C$ .

$y = 8 x + \ln (| x |) + 1$