Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = {(y + 1)}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(y + 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} {(y + 1)}^{2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de ${(y + 1)}^{2}$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} {(y + 1)}^{2}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(y + 1)}^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 1$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.4

Reescreva $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{y + 1} + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y + 1} = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 1, 1, 1$

Etapa 3.1.2

Remova os parênteses.

$y + 1, 1, 1$

Etapa 3.1.3

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$y + 1$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y + 1} = x + K$ por $y + 1$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y + 1} = x + K$ por $y + 1$ .

$- \frac{1}{y + 1} (y + 1) = x (y + 1) + K (y + 1)$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $y + 1$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y + 1}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = x (y + 1) + K (y + 1)$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y + 1} (y + 1) = x (y + 1) + K (y + 1)$

Etapa 3.2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 = x (y + 1) + K (y + 1)$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = x y + x \cdot 1 + K (y + 1)$

Etapa 3.2.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 1 = x y + x + K (y + 1)$

Etapa 3.2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 1 = x y + x + K y + K \cdot 1$

Etapa 3.2.3.1.4

Multiplique $K$ por $1$ .

$- 1 = x y + x + K y + K$

Etapa 3.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $x y + x + K y + K = - 1$ .

$x y + x + K y + K = - 1$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x y + K y + K = - 1 - x$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $K$ dos dois lados da equação.

$x y + K y = - 1 - x - K$

Etapa 3.3.3

Fatore $y$ de $x y + K y$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore $y$ de $x y$ .

$y x + K y = - 1 - x - K$

Etapa 3.3.3.2

Fatore $y$ de $K y$ .

$y x + y K = - 1 - x - K$

Etapa 3.3.3.3

Fatore $y$ de $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 - x - K$

Etapa 3.3.4

Divida cada termo em $y (x + K) = - 1 - x - K$ por $x + K$ e simplifique.

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Etapa 3.3.4.1

Divida cada termo em $y (x + K) = - 1 - x - K$ por $x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- x}{x + K} + \frac{- K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $x + K$ .

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Etapa 3.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- x}{x + K} + \frac{- K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- x}{x + K} + \frac{- K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{- x}{x + K} + \frac{- K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{x}{x + K} + \frac{- K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{x}{x + K} - \frac{K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 1 - x}{x + K} - \frac{K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 1 - x - K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.3

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - x - K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (x) - K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + x) - K}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1 + x) - K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + x + K)}{x + K}$

Etapa 3.3.4.3.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{1 + x + K}{x + K}$