Cálculo Exemplos

$2 x y \frac{d y}{d x} - y^{2} + x^{2} = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como uma função de $\frac{y}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Resolva $\frac{d y}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d y}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Some $y^{2}$ aos dois lados da equação.

$2 x y \frac{d y}{d x} + x^{2} = y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ por $2 x y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ por $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.2.3.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.1

Fatore $y$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.1

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Etapa 1.1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

Etapa 1.2

Fatore $\frac{y}{x}$ a partir de $\frac{y}{2 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Fatore $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{2 x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

Etapa 1.2.2

Reordene $\frac{y}{x}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação diferencial como $f (\frac{y}{x})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $\frac{x}{y}$ a partir de $\frac{x}{2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Fatore $\frac{x}{y}$ de $\frac{x}{2 y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 1.3.1.2

Reordene $\frac{x}{y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{x}{y}$ como ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

Etapa 2

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Etapa 3

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 4

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 5

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Etapa 6

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

Etapa 6.1.1.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Etapa 6.1.1.1.3

Multiplique $\frac{1}{V}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

Etapa 6.1.1.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

Etapa 6.1.1.2

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

Etapa 6.1.1.3

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.2

Para escrever $- V$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.1

Combine $- V$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Fatore $V$ de $V - V \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Eleve $V$ à potência de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Fatore $V$ de $V^{1}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Fatore $V$ de $- V \cdot 2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Fatore $V$ de $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1

Fatore $- 1$ de $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.1

Reordene $- \frac{1}{2 V}$ e $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.2

Fatore $- 1$ de $- \frac{V}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.3

Fatore $- 1$ de $- \frac{1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.1.4

Fatore $- 1$ de $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.2

Para escrever $\frac{V}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.3

Multiplique $\frac{V}{2}$ por $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.4.5

Multiplique $V$ por $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.1.3.3.6

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

Etapa 6.1.1.3.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

Etapa 6.1.2

Reagrupe os fatores.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Etapa 6.1.4.2

Multiplique $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Etapa 6.1.4.3

Cancele o fator comum de $2 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ para o numerador.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Etapa 6.1.4.3.2

Fatore $2 V$ de $- 2 V$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Etapa 6.1.4.3.3

Fatore $2 V$ de $2 V x$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

Etapa 6.1.4.3.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Etapa 6.1.4.3.5

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Etapa 6.1.4.4

Cancele o fator comum de $V^{2} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Etapa 6.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Etapa 6.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Como $2$ é constante com relação a $V$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.2

Deixe $u = V^{2} + 1$ . Depois, $d u = 2 V d V$ , então, $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Deixe $u = V^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1.1

Diferencie $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Etapa 6.2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $V^{2} + 1$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Etapa 6.2.2.2.1.4

Como $1$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $1$ em relação a $V$ é $0$ .

$2 V + 0$

Etapa 6.2.2.2.1.5

Some $2 V$ e $0$ .

$2 V$

Etapa 6.2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.5.3

Multiplique $\int \frac{1}{u} d u$ por $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 6.2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 6.2.3.3

Simplifique.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 6.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 6.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Etapa 6.3.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

Etapa 6.3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

Etapa 6.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

Etapa 6.3.5

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

Etapa 6.3.6

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

Etapa 6.3.7

Reescreva $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

Etapa 6.3.8

Resolva $V$ .

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Etapa 6.3.8.1

Reescreva a equação como $| V^{2} x + x | = e^{C}$ .

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

Etapa 6.3.8.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

Etapa 6.3.8.3

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

Etapa 6.3.8.4

Divida cada termo em $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 6.3.8.4.1

Divida cada termo em $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ por $x$ .

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 6.3.8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.8.4.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 6.3.8.4.2.1.2

Divida $V^{2}$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 6.3.8.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.8.4.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 6.3.8.4.3.1.1

Cancele o fator comum.

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Etapa 6.3.8.4.3.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Etapa 6.3.8.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Etapa 6.3.8.6

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

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Etapa 6.3.8.6.1

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Etapa 6.3.8.6.2

Combine $- 1$ e $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

Etapa 6.3.8.6.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

Etapa 6.3.8.6.4

Reescreva $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ como $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 6.3.8.6.5

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Etapa 6.3.8.6.6

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 6.3.8.6.6.1

Multiplique $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ por $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Etapa 6.3.8.6.6.2

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Etapa 6.3.8.6.6.3

Eleve $\sqrt{x}$ à potência de $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Etapa 6.3.8.6.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Etapa 6.3.8.6.6.5

Some $1$ e $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Etapa 6.3.8.6.6.6

Reescreva ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Etapa 6.3.8.6.6.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 6.3.8.6.6.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 6.3.8.6.6.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.8.6.6.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.8.6.6.6.4.1

Cancele o fator comum.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 6.3.8.6.6.6.4.2

Reescreva a expressão.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Etapa 6.3.8.6.6.6.5

Simplifique.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

Etapa 6.3.8.6.7

Combine usando a regra do produto para radicais.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

Etapa 6.3.8.6.8

Reordene os fatores em $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

Etapa 6.4

Simplifique a constante de integração.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Etapa 7

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Etapa 8

Resolva $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ para $y$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$