Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 6 - 2 \cos (3 x)$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = (6 - 2 \cos (3 x)) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 6 - 2 \cos (3 x) d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \int 6 d x + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Etapa 2.3.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \int - 2 \cos (3 x) d x$

Etapa 2.3.3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (3 x) d x$

Etapa 2.3.4

Deixe $u = 3 x$ . Depois, $d u = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.4.1

Deixe $u = 3 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 2.3.4.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 2.3.4.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u)}{3} d u$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - 2 (\frac{1}{3} \int \cos (u) d u)$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} + \frac{- 2}{3} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} \int \cos (u) d u$

Etapa 2.3.8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$y + C_{1} = 6 x + C_{2} - \frac{2}{3} (\sin (u) + C_{3})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (u) + C_{4}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$y + C_{1} = 6 x - \frac{2}{3} \sin (3 x) + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Reordene os termos.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - \frac{2}{3} \sin (3 x) + 6 x + K$