Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x^{2} e^{x^{2}}$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 2 x$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int - 2 x d x}$

Etapa 1.2

Integre $- 2 x$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Etapa 1.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Reescreva $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.3.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{- x^{2}}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{- x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Etapa 2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} (x^{2} e^{x^{2}})$

Etapa 2.4

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $e^{x^{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.4.1

Mova $e^{x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 (e^{x^{2}} e^{- x^{2}}) x^{2}$

Etapa 2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2} - x^{2}} x^{2}$

Etapa 2.4.3

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{0} x^{2}$

Etapa 2.5

Simplifique $3 e^{0} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$

Etapa 2.6

Reordene os fatores em $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x^{2}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x^{2}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Etapa 6.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Etapa 6.3.2

Simplifique.

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Etapa 6.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Etapa 6.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{- x^{2}} y = 1 x^{3} + C$

Etapa 6.3.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ por $e^{- x^{2}}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ por $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- x^{2}}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$