Cálculo Exemplos

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 1$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Etapa 1.2

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Etapa 2.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 (x + y)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.5

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $- 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 2$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = - 2$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Etapa 4.2

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 + 0}{M}$

Etapa 4.3

Substitua $1$ por $M$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $1$ por $M$ .

$\frac{- 2 + 0}{1}$

Etapa 4.3.2

Divida $- 2 + 0$ por $1$ .

$- 2 + 0$

Etapa 4.3.3

Substitua $1$ por $M$ .

$- 2$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int - 2 d y}$ .

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Etapa 5.1

Aplique a regra da constante.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

Etapa 5.2

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

Etapa 6

Multiplique $1$ por $e^{- 2 y}$ .

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = e^{- 2 y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{- 2 y} x + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ .

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Etapa 11.3.1

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e^{- 2 y} x$ em relação a $y$ é $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = - 2 y$ .

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Etapa 11.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 y$ .

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3.3

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.3.6

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- 2 y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.5

Simplifique.

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Etapa 11.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 11.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ .

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 12.1.1

Some $2 x e^{- 2 y}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

Etapa 12.1.2

Combine os termos opostos em $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ .

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Etapa 12.1.2.1

Some $- 2 x e^{- 2 y}$ e $2 x e^{- 2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

Etapa 12.1.2.2

Some $- 2 y e^{- 2 y}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- 2 y e^{- 2 y}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Etapa 13.3

Como $- 2$ é constante com relação a $y$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

Etapa 13.4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- 2 y}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Etapa 13.5

Simplifique.

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Etapa 13.5.1

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Etapa 13.5.2

Combine $y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Etapa 13.5.3

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Etapa 13.6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Etapa 13.7

Simplifique.

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Etapa 13.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Etapa 13.7.2

Multiplique $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ por $1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Etapa 13.8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

Etapa 13.9

Deixe $u = - 2 y$ . Depois, $d u = - 2 d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.9.1

Deixe $u = - 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 13.9.1.1

Diferencie $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 13.9.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 13.9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 13.9.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 13.9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Etapa 13.10

Simplifique.

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Etapa 13.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Etapa 13.10.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 13.11

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Etapa 13.12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Etapa 13.13

Simplifique.

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Etapa 13.13.1

Remova os parênteses.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Etapa 13.13.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Etapa 13.13.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 13.14

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Etapa 13.15

Reescreva $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ como $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 13.16

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.16.1

Combine $y$ e $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 13.16.2

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{y}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Etapa 13.16.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Etapa 13.17

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 y$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.18.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ para o numerador.

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18.2.3

Cancele o fator comum.

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18.2.4

Reescreva a expressão.

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18.4

Multiplique $e^{- 2 y}$ por $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Etapa 13.18.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.18.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ para o numerador.

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Etapa 13.18.5.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Etapa 13.18.5.3

Fatore $2$ de $4$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 13.18.5.4

Cancele o fator comum.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 13.18.5.5

Reescreva a expressão.

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.18.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.6.2

Multiplique $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

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Etapa 13.18.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.6.2.2

Multiplique $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ por $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.7

Combine $e^{- 2 y} y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ usando um denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.18.7.1

Reordene $e^{- 2 y}$ e $y$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.7.2

Para escrever $y e^{- 2 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.7.3

Combine $y e^{- 2 y}$ e $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.7.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.18.8.1

Fatore $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.18.8.1.1

Fatore $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 13.18.8.1.2

Multiplique por $1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Etapa 13.18.8.1.3

Fatore $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Etapa 13.18.8.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Etapa 13.19

Reordene os termos.

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{- 2 y}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

Etapa 15.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Etapa 15.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Etapa 15.1.4

Multiplique $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ por $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.5.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.5.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.6

Combine $e^{- 2 y} y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ usando um denominador comum.

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Etapa 15.1.6.1

Reordene $e^{- 2 y}$ e $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.6.2

Para escrever $y e^{- 2 y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.6.3

Combine $y e^{- 2 y}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.1.7.1

Fatore $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ .

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Etapa 15.1.7.1.1

Fatore $e^{- 2 y}$ de $y e^{- 2 y} \cdot 2$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Etapa 15.1.7.1.2

Multiplique por $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Etapa 15.1.7.1.3

Fatore $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Etapa 15.1.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Etapa 15.2

Para escrever $e^{- 2 y} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Etapa 15.3

Combine $e^{- 2 y} x$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Etapa 15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Etapa 15.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.5.1

Fatore $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

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Etapa 15.5.1.1

Fatore $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} x \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Etapa 15.5.1.2

Fatore $e^{- 2 y}$ de $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

Etapa 15.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$