Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x + 1}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1} y$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x + 1} y)$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $\frac{x}{x + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x + 1})$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x + 1}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x + 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Divida $x$ por $x + 1$ .

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Etapa 2.3.1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 2.3.1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Etapa 2.3.1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Etapa 2.3.1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Etapa 2.3.1.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.5.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2.3.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| u |) + C_{4}$

Etapa 2.3.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x - \ln (| x + 1 |) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = x - \ln (| x + 1 |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) + \ln (| x + 1 |) = x + C$

Etapa 3.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x + 1 |) = x + C$

Etapa 3.3

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$\ln (| y (x + 1) |) = x + C$

Etapa 3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y x + y \cdot 1 |) = x + C$

Etapa 3.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$\ln (| y x + y |) = x + C$

Etapa 3.6

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y x + y |)} = e^{x + C}$

Etapa 3.7

Reescreva $\ln (| y x + y |) = x + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C} = | y x + y |$

Etapa 3.8

Resolva $y$ .

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Etapa 3.8.1

Reescreva a equação como $| y x + y | = e^{x + C}$ .

$| y x + y | = e^{x + C}$

Etapa 3.8.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm e^{x + C}$

Etapa 3.8.3

Fatore $y$ de $y x + y$ .

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Etapa 3.8.3.1

Fatore $y$ de $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Etapa 3.8.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{x + C}$

Etapa 3.8.3.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{x + C}$

Etapa 3.8.3.4

Fatore $y$ de $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{x + C}$

Etapa 3.8.4

Divida cada termo em $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ por $x + 1$ e simplifique.

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Etapa 3.8.4.1

Divida cada termo em $y (x + 1) = \pm e^{x + C}$ por $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Etapa 3.8.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.8.4.2.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 3.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Etapa 3.8.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{x + C}}{x + 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{x + C}$ como $e^{x} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{x} e^{C}}{x + 1}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{x}}{x + 1}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \frac{C e^{x}}{x + 1}$