Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x y^{2}}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reordene $x$ e $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{y^{2} x}$

Etapa 1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{d y}{d x} = y \sqrt{x}$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $y \sqrt{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (\sqrt{x}))$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \sqrt{x})$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \sqrt{x}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \sqrt{x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sqrt{x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sqrt{x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C}$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$| y | = e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

Etapa 3.3.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C}$ como $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}}$