Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = (y + 2) (y - 3)$ ; where $y (0) = 4$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(y + 2) (y - 3)}$ .

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $(y + 2) (y - 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} ((y + 2) (y - 3))$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{(y + 2) (y - 3)} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{y + 2}$

Etapa 2.2.1.1.2

$\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(y + 2) (y - 3)$ .

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y + 2) (y - 3)}{(y + 2) (y - 3)} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.5

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 (y - 3)}{y - 3} = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.1

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A (y + 2) (y - 3)}{y + 2} + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6.1.2

Divida $(A) (y - 3)$ por $1$ .

$1 = (A) (y - 3) + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$1 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6.4

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = A y - 3 A + \frac{(B) (y + 2) (y - 3)}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.1.6.4.2

Divida $(B) (y + 2)$ por $1$ .

$1 = A y - 3 A + (B) (y + 2)$

Etapa 2.2.1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A y - 3 A + B y + B \cdot 2$

Etapa 2.2.1.1.6.6

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$1 = A y - 3 A + B y + 2 B$

Etapa 2.2.1.1.7

Mova $- 3 A$ .

$1 = A y + B y - 3 A + 2 B$

Etapa 2.2.1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = A + B$

Etapa 2.2.1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = - 3 A + 2 B$

Etapa 2.2.1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$0 = A + B$

$1 = - 3 A + 2 B$

Etapa 2.2.1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Resolva $A$ em $0 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$1 = - 3 A + 2 B$

Etapa 2.2.1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

$A = - B$

$1 = - 3 A + 2 B$

Etapa 2.2.1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $1 = - 3 A + 2 B$ por $- B$ .

$1 = - 3 (- B) + 2 B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1

Simplifique $- 3 (- B) + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$1 = 3 B + 2 B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.2.2.1.2

Some $3 B$ e $2 B$ .

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

$1 = 5 B$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3

Resolva $B$ em $1 = 5 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.1

Reescreva a equação como $5 B = 1$ .

$5 B = 1$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2

Divida cada termo em $5 B = 1$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.1

Divida cada termo em $5 B = 1$ por $5$ .

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 B}{5} = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.3.2.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - B$

Etapa 2.2.1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{1}{5}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - B$ por $\frac{1}{5}$ .

$A = - (\frac{1}{5})$

$B = \frac{1}{5}$

Etapa 2.2.1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $\frac{1}{5}$ .

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

$A = - \frac{1}{5}$

$B = \frac{1}{5}$

Etapa 2.2.1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{1}{5}, B = \frac{1}{5}$

Etapa 2.2.1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y + 2} + \frac{B}{y - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- \frac{1}{5}}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y + 2} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{y + 2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{(y + 2) \cdot 5} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.5.3

Mova $5$ para a esquerda de $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{\frac{1}{5}}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.5.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{y - 3}$

Etapa 2.2.1.5.5

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{1}{y - 3}$ .

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} + \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{5 (y + 2)} d y + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{5} \int \frac{1}{y + 2} d y) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.5

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Depois, $d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Deixe $u_{1} = y + 2$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1.1

Diferencie $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Etapa 2.2.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 2.2.5.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$- \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \int \frac{1}{5 (y - 3)} d y = \int d x$

Etapa 2.2.7

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{y - 3} d y = \int d x$

Etapa 2.2.8

Deixe $u_{2} = y - 3$ . Depois, $d u_{2} = d y$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1

Deixe $u_{2} = y - 3$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.8.1.1

Diferencie $y - 3$ .

$\frac{d}{d y} [y - 3]$

Etapa 2.2.8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 3$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Etapa 2.2.8.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 3$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int d x$

Etapa 2.2.9

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \frac{1}{5} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) + \frac{1}{5} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) = \int d x$

Etapa 2.2.10

Simplifique.

$- \frac{1}{5} \ln (| u_{1} |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y + 2$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| u_{2} |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.2.11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y - 3$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) + C_{3} = x + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{5} \ln (| y + 2 |) + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Combine $\ln (| y + 2 |)$ e $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{1}{5} \ln (| y - 3 |) = x + C$

Etapa 3.1.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $\ln (| y - 3 |)$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$

Etapa 3.2

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ por $5$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} = x + C$ por $5$ .

$- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| y + 2 |)}{5}$ para o numerador.

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \ln (| y + 2 |)}{5} \cdot 5 + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Etapa 3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- \ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| y - 3 |)}{5} \cdot 5 = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Etapa 3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = x \cdot 5 + C \cdot 5$

Etapa 3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 \cdot x + C \cdot 5$

Etapa 3.2.3.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $C$ .

$- \ln (| y + 2 |) + \ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C$

Etapa 3.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y - 3 |)} = e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}$

Etapa 3.4

Reescreva $\ln (| y - 3 |) = 5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)} = | y - 3 |$

Etapa 3.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)}) = \ln (| y - 3 |)$

Etapa 3.5.2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Expanda $\ln (e^{5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)})$ movendo $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ para fora do logaritmo.

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \ln (e) = \ln (| y - 3 |)$

Etapa 3.5.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$(5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)) \cdot 1 = \ln (| y - 3 |)$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique $5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |)$ por $1$ .

$5 x + 5 C + \ln (| y + 2 |) = \ln (| y - 3 |)$

Etapa 3.5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y + 2 |) - \ln (| y - 3 |) = - 5 x - 5 C$

Etapa 3.5.4

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$

Etapa 3.5.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |})} = e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.6

Reescreva $\ln (\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}) = - 5 x - 5 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 5 x - 5 C} = \frac{| y + 2 |}{| y - 3 |}$

Etapa 3.5.7

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.1

Reescreva a equação como $\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$ .

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} = e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.2

Multiplique os dois lados por $| y - 3 |$ .

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Etapa 3.5.7.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.3.1

Cancele o fator comum de $| y - 3 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y + 2 |}{| y - 3 |} | y - 3 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Etapa 3.5.7.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y + 2 | = e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |$

Etapa 3.5.7.4

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.1

Reescreva a equação como $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ .

$e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$

Etapa 3.5.7.4.2

Divida cada termo em $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ por $e^{- 5 x - 5 C}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.2.1

Divida cada termo em $e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 | = | y + 2 |$ por $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Etapa 3.5.7.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{- 5 x - 5 C} | y - 3 |}{e^{- 5 x - 5 C}} = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Etapa 3.5.7.4.2.2.1.2

Divida $| y - 3 |$ por $1$ .

$| y - 3 | = \frac{| y + 2 |}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Etapa 3.5.7.4.3

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$- (y - 3) = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Etapa 3.5.7.4.4

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

$y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$

Etapa 3.5.7.4.5

Resolva $y - 3 = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.1

Multiplique os dois lados por $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.5.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.2.1.1

Simplifique $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.5.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.2.1.1.2.1

Reordene $- 5 x$ e $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.5.2.1.1.2.2

Reordene $- 5 x$ e $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = y + 2$

Etapa 3.5.7.4.5.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.3.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} - y = 2$

Etapa 3.5.7.4.5.3.2

Some $3 e^{- 5 C - 5 x}$ aos dois lados da equação.

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.5.3.3

Fatore $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.3.3.1

Fatore $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - y = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.5.3.3.2

Fatore $y$ de $- y$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1 = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.5.3.3.3

Fatore $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot - 1$ .

$y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.5.3.4

Divida cada termo em $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.3.4.1

Divida cada termo em $y (e^{- 5 C - 5 x} - 1) = 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ .

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Etapa 3.5.7.4.5.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 5 C - 5 x} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} - 1)}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Etapa 3.5.7.4.5.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{e^{- 5 C - 5 x} - 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Etapa 3.5.7.4.5.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.5.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

Etapa 3.5.7.4.6

Resolva $y - 3 = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.1

Multiplique os dois lados por $e^{- 5 x - 5 C}$ .

$(y - 3) e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.2.1.1

Simplifique $(y - 3) e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 5 x - 5 C} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.6.2.1.1.2

Simplifique com comutação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.2.1.1.2.1

Reordene $- 5 x$ e $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 x - 5 C} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.6.2.1.1.2.2

Reordene $- 5 x$ e $- 5 C$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.6.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.2.2.1

Simplifique $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.2.2.1.1

Cancele o fator comum de $e^{- 5 x - 5 C}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.2.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y + 2}{e^{- 5 x - 5 C}}$ para o numerador.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.6.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = \frac{- (y + 2)}{e^{- 5 x - 5 C}} e^{- 5 x - 5 C}$

Etapa 3.5.7.4.6.2.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - (y + 2)$

Etapa 3.5.7.4.6.2.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 1 \cdot 2$

Etapa 3.5.7.4.6.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} = - y - 2$

Etapa 3.5.7.4.6.3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.3.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$y e^{- 5 C - 5 x} - 3 e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2$

Etapa 3.5.7.4.6.3.2

Some $3 e^{- 5 C - 5 x}$ aos dois lados da equação.

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.3

Fatore $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} + y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.3.3.1

Fatore $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.3.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.3.3

Fatore $y$ de $y^{1}$ .

$y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1 = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.3.4

Fatore $y$ de $y e^{- 5 C - 5 x} + y \cdot 1$ .

$y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4

Divida cada termo em $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.1

Divida cada termo em $y (e^{- 5 C - 5 x} + 1) = - 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}$ por $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ .

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{- 5 C - 5 x} + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (e^{- 5 C - 5 x} + 1)}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{e^{- 5 C - 5 x} + 1} + \frac{3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.3.2

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y = \frac{- 1 (2) + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.3.3

Fatore $- 1$ de $3 e^{- 5 C - 5 x}$ .

$y = \frac{- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- 1 (2) - (- 3 e^{- 5 C - 5 x})$ .

$y = \frac{- 1 (2 - 3 e^{- 5 C - 5 x})}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.6.3.4.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 3.5.7.4.7

Liste todas as soluções.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 C - 5 x}}{e^{- 5 C - 5 x} + 1}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{2 + 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.2

Reordene os termos.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + C}}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.3

Reescreva $e^{- 5 x + C}$ como $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{- 5 x} e^{C})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.4

Reordene $e^{- 5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C - 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.5

Reordene os termos.

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x + C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.6

Reescreva $e^{- 5 x + C}$ como $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x} e^{C} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.7

Reordene $e^{- 5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{C - 5 x}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.8

Reordene os termos.

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 e^{- 5 x + C}}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.9

Reescreva $e^{- 5 x + C}$ como $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{- 5 x} e^{C})}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.10

Reordene $e^{- 5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C - 5 x} + 1}$

Etapa 4.11

Reordene os termos.

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x + C} + 1}$

Etapa 4.12

Reescreva $e^{- 5 x + C}$ como $e^{- 5 x} e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{- 5 x} e^{C} + 1}$

Etapa 4.13

Reordene $e^{- 5 x}$ e $e^{C}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} + 1}$

$y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$

$y = - \frac{2 - 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} + 1}$

Etapa 5

Como $y$ é positivo na condição inicial $(0, 4)$ , considere apenas $y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$ para encontrar $C$ . Substitua $0$ por $x$ e $4$ por $y$ .

$4 = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0})}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} = 4$ .

$\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} = 4$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados por $e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1$ .

$\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1) = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1

Simplifique $\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0}}{e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1} (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1) = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 + 3 e^{C} e^{- 5 \cdot 0} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.2

Multiplique $e^{C}$ por $e^{- 5 \cdot 0}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1.1.2.1

Mova $e^{- 5 \cdot 0}$ .

$2 + 3 (e^{- 5 \cdot 0} e^{C}) = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 + 3 e^{- 5 \cdot 0 + C} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.2.3

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$2 + 3 e^{0 + C} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3.1.1.2.4

Some $0$ e $C$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique $4 (e^{C} e^{- 5 \cdot 0} - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $e^{C}$ por $e^{- 5 \cdot 0}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C - 5 \cdot 0} - 1)$

Etapa 6.3.2.1.1.2

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C + 0} - 1)$

Etapa 6.3.2.1.1.3

Some $C$ e $0$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 (e^{C} - 1)$

Etapa 6.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 + 3 e^{C} = 4 e^{C} + 4 \cdot - 1$

Etapa 6.3.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 + 3 e^{C} = 4 e^{C} - 4$

Etapa 6.4

Resolva $C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Mova todos os termos que contêm $C$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.4.1.1

Subtraia $4 e^{C}$ dos dois lados da equação.

$2 + 3 e^{C} - 4 e^{C} = - 4$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia $4 e^{C}$ de $3 e^{C}$ .

$2 - e^{C} = - 4$

Etapa 6.4.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.4.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- e^{C} = - 4 - 2$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$- e^{C} = - 6$

Etapa 6.4.3

Divida cada termo em $- e^{C} = - 6$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 6.4.3.1

Divida cada termo em $- e^{C} = - 6$ por $- 1$ .

$\frac{- e^{C}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 6.4.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{e^{C}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 6.4.3.2.2

Divida $e^{C}$ por $1$ .

$e^{C} = \frac{- 6}{- 1}$

Etapa 6.4.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.3.3.1

Divida $- 6$ por $- 1$ .

$e^{C} = 6$

Etapa 6.4.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{C}) = \ln (6)$

Etapa 6.4.5

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 6.4.5.1

Expanda $\ln (e^{C})$ movendo $C$ para fora do logaritmo.

$C \ln (e) = \ln (6)$

Etapa 6.4.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$C \cdot 1 = \ln (6)$

Etapa 6.4.5.3

Multiplique $C$ por $1$ .

$C = \ln (6)$

Etapa 7

Substitua $\ln (6)$ por $C$ em $y = \frac{2 + 3 (e^{C} e^{- 5 x})}{e^{C} e^{- 5 x} - 1}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $\ln (6)$ por $C$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{\ln (6)} e^{- 5 x})}{e^{\ln (6)} e^{- 5 x} - 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $e^{\ln (6)}$ por $e^{- 5 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1

Mova $e^{- 5 x}$ .

$y = \frac{2 + 3 (e^{- 5 x} e^{\ln (6)})}{e^{\ln (6)} e^{- 5 x} - 1}$

Etapa 7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + \ln (6)}}{e^{\ln (6)} e^{- 5 x} - 1}$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{2 + 3 e^{- 5 x + \ln (6)}}{e^{\ln (6) - 5 x} - 1}$