Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y + 2$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Etapa 2.3

A integral de $\sin (x)$ com relação a $x$ é $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

Etapa 3

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $x$ e $2$ por $y$ em $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

Etapa 4

Resolva $K$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Simplifique $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

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Etapa 4.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.3.1.1.1.1

Fatore $2$ de $2^{2}$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.1.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

Etapa 4.3.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

Etapa 4.3.1.2

Some $2$ e $4$ .

$- 1 + K = 6$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm $K$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.4.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$K = 6 + 1$

Etapa 4.4.2

Some $6$ e $1$ .

$K = 7$

Etapa 5

Substitua $7$ por $K$ em $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Substitua $7$ por $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$