Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{6}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para se adequar à técnica de Bernoulli.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $y$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{2} y^{6}$

Etapa 1.2

Reordene $y$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$

Etapa 2

Para resolver a equação diferencial, deixe $v = y^{1 - n}$ , em que $n$ é o expoente de $y^{6}$ .

$v = y^{- 5}$

Etapa 3

Resolva a equação para $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{5}}$

Etapa 4

Calcule a derivada de $y$ com relação a $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{5}}$

Etapa 5

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{5}}$ com relação a $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Calcule a derivada de $v^{- \frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{5}}]$

Etapa 5.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{5}}}]$

Etapa 5.3

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 1$ e $g (x) = v^{\frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Etapa 5.4.2

Multiplique os expoentes em ${(v^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

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Etapa 5.4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{1}{5} \cdot 2}}$

Etapa 5.4.2.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.4.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.4.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.4.1

Multiplique $v^{\frac{1}{5}}$ por $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.4.4.2

Subtraia $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ e $g (x) = v$ .

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Etapa 5.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.7

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.9.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.9.2

Subtraia $5$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.11

Combine $\frac{1}{5}$ e $v^{- \frac{4}{5}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.12

Mova $v^{- \frac{4}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.13

Reescreva $\frac{d}{d x} [v]$ como $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} v'}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.14

Combine $\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ e $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.15

Reescreva $\frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$ como um produto.

$y' = - (\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{5}}})$

Etapa 5.16

Multiplique $\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ por $\frac{1}{v^{\frac{2}{5}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}} v^{\frac{2}{5}}}$

Etapa 5.17

Multiplique $v^{\frac{4}{5}}$ por $v^{\frac{2}{5}}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.17.1

Mova $v^{\frac{2}{5}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 (v^{\frac{2}{5}} v^{\frac{4}{5}})}$

Etapa 5.17.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}}$

Etapa 5.17.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2 + 4}{5}}}$

Etapa 5.17.4

Some $2$ e $4$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$

Etapa 6

Substitua $- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ por $\frac{d y}{d x}$ e $v^{- \frac{1}{5}}$ por $y$ na equação original $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$ .

$- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$

Etapa 7

Resolva a equação diferencial substituída.

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Etapa 7.1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Etapa 7.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ por $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.1.1.1

Multiplique cada termo em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ por $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.1.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1

Cancele o fator comum de $5 v^{\frac{6}{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ para o numerador.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.2

Fatore $5 v^{\frac{6}{5}}$ de $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.3

Multiplique $\frac{d v}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} v^{\frac{6}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5

Multiplique $v^{- \frac{1}{5}}$ por $v^{\frac{6}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.2.1.5.1

Mova $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{1}{5}}) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6}{5} - \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6 - 1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.4

Subtraia $1$ de $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{5}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.5.5

Divida $5$ por $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.6

Simplifique $- 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.7

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.8

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.10

Combine $v$ e $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 5}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.2.1.11

Mova $5$ para a esquerda de $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Etapa 7.1.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 1 \cdot 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.3

Multiplique os expoentes em ${(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{1}{5} \cdot 6} v^{\frac{6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.3.2

Multiplique $- \frac{1}{5} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.3.2.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- 6 (\frac{1}{5})} v^{\frac{6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.3.2.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{- 6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.4

Multiplique $v^{- \frac{6}{5}}$ por $v^{\frac{6}{5}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.3.4.1

Mova $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{6}{5}})$

Etapa 7.1.1.3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6}{5} - \frac{6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6 - 6}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.4.4

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{0}{5}}$

Etapa 7.1.1.3.4.5

Divida $0$ por $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{0}$

Etapa 7.1.1.3.5

Simplifique $- 5 x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2}$

Etapa 7.1.2

Fatore $v$ de $- \frac{5 v}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{5}{x}) = - 5 x^{2}$

Etapa 7.1.3

Reordene $v$ e $- \frac{5}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = - 5 x^{2}$

Etapa 7.2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - \frac{5}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Determine a integração.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Etapa 7.2.2

Integre $- \frac{5}{x}$ .

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Etapa 7.2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 7.2.2.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 7.2.2.5

Simplifique.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Etapa 7.2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Etapa 7.2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Etapa 7.2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{- 5}$

Etapa 7.2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\frac{1}{x^{5}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Combine $\frac{1}{x^{5}}$ e $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.2.3

Combine $\frac{5}{x}$ e $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4

Multiplique $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.1

Multiplique $\frac{5 v}{x}$ por $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.2.4.2.2

Some $1$ e $5$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Etapa 7.3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - 5 \frac{1}{x^{5}} x^{2}$

Etapa 7.3.4

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{5}} x^{2}$

Etapa 7.3.5

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Etapa 7.3.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Etapa 7.3.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{3}}$

Etapa 7.3.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - \frac{5}{x^{3}}$

Etapa 7.4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] = - \frac{5}{x^{3}}$

Etapa 7.5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] d x = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Etapa 7.6

Integre o lado esquerdo.

$\frac{1}{x^{5}} v = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Etapa 7.7

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{5}} v = - \int \frac{5}{x^{3}} d x$

Etapa 7.7.2

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{x^{5}} v = - (5 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Etapa 7.7.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.3.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Etapa 7.7.3.2

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 7.7.3.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.7.3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 7.7.3.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{- 3} d x$

Etapa 7.7.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Etapa 7.7.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.7.5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.5.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Etapa 7.7.5.1.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Etapa 7.7.5.2

Simplifique.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Etapa 7.7.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.7.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Etapa 7.7.5.3.2

Combine $5$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Etapa 7.8

Resolva $v$ .

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Etapa 7.8.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1.1

Subtraia $\frac{5}{2 x^{2}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} = C$

Etapa 7.8.1.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Etapa 7.8.1.3

Combine $\frac{1}{x^{5}}$ e $v$ .

$\frac{v}{x^{5}} - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Etapa 7.8.2

Mova todos os termos que não contêm $v$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.2.1

Some $\frac{5}{2 x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{v}{x^{5}} - C = \frac{5}{2 x^{2}}$

Etapa 7.8.2.2

Some $C$ aos dois lados da equação.

$\frac{v}{x^{5}} = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Etapa 7.8.3

Multiplique os dois lados por $x^{5}$ .

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Etapa 7.8.4

Simplifique.

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Etapa 7.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.8.4.1.1

Cancele o fator comum de $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Etapa 7.8.4.1.1.2

Reescreva a expressão.

$v = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Etapa 7.8.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.8.4.2.1

Simplifique $(\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.4.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$v = \frac{5}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

Etapa 7.8.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 7.8.4.2.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

Etapa 7.8.4.2.1.2.2

Fatore $x^{2}$ de $x^{5}$ .

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Etapa 7.8.4.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Etapa 7.8.4.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$v = \frac{5}{2} x^{3} + C x^{5}$

Etapa 7.8.4.2.1.3

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{3}$ .

$v = \frac{5 x^{3}}{2} + C x^{5}$

Etapa 7.8.4.2.1.4

Reordene $\frac{5 x^{3}}{2}$ e $C x^{5}$ .

$v = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

Etapa 8

Substitua $y^{- 5}$ por $v$ .

$y^{- 5} = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$