Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x - 4}{\sqrt{x^{2} - 8 x + 2}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x^{2} - 8 x + 2$ . Depois, $d u = (2 x - 8) d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = (x - 4) d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x^{2} - 8 x + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x^{2} - 8 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 2]$

Etapa 2.3.1.1.2

Diferencie.

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Etapa 2.3.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 2.3.1.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$2 x - 8 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 2.3.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x - 8 + 0$

Etapa 2.3.1.1.4.2

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$2 x - 8$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{u}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Etapa 2.3.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Etapa 2.3.4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Etapa 2.3.4.2

Mova $u^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Etapa 2.3.4.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Etapa 2.3.4.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Reescreva $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ como $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.6.2.3

Multiplique $u^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 8 x + 2$ .

$y + C_{1} = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = {(x^{2} - 8 x + 2)}^{\frac{1}{2}} + K$