Cálculo Exemplos

$(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x y - y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y - y^{2}]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x y - y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [3 x y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $y$ é $3 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - (2 y)$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x - 2 y$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x (x - y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x - y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x - y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Como $- y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x - y) \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Multiplique $x - y$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x - y$

Etapa 2.3.6.2

Some $x$ e $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x - y$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $3 x - 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x - y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 x - 2 y = 2 x - y$

Etapa 3.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$3 x - 2 y = 2 x - y$ não é uma identidade.

Etapa 4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $3 x - 2 y$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 x - 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 4.2

Substitua $2 x - y$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{N}$

Etapa 4.3

Substitua $x (x - y)$ por $N$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $x (x - y)$ por $N$ .

$\frac{3 x - 2 y - (2 x - y)}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 x - 2 y - (2 x) - - y}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x - - y}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.2.3

Multiplique $- - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + 1 y}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.2.3.2

Multiplique $y$ por $1$ .

$\frac{3 x - 2 y - 2 x + y}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.2.4

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$\frac{x - 2 y + y}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.2.5

Some $- 2 y$ e $y$ .

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.3

Cancele o fator comum de $x - y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x - y}{x (x - y)}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x}$

Etapa 4.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 5

Avalie a integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Etapa 5.1

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Etapa 5.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.2.1

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Etapa 5.2.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = | x | + C$

Etapa 6

Multiplique ambos os lados de $(3 x y - y^{2}) d x + x (x - y) d y = 0$ pelo fator de integração $x$ .

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Etapa 6.1

Multiplique $3 x y - y^{2}$ por $x$ .

$(3 x y - y^{2}) x d x + x (x - y) d y = 0$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x y x - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Etapa 6.3

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1

Mova $x$ .

$(3 (x \cdot x) y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Etapa 6.3.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) d y = 0$

Etapa 6.4

Multiplique $x (x - y)$ por $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x (x - y) x d y = 0$

Etapa 6.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Mova $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x \cdot x (x - y) d y = 0$

Etapa 6.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + x^{2} (x - y) d y = 0$

Etapa 6.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x + x^{2} (- y)) d y = 0$

Etapa 6.7

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 6.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2} x^{1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Etapa 6.7.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{2 + 1} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Etapa 6.7.2

Some $2$ e $1$ .

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} + x^{2} (- y)) d y = 0$

Etapa 6.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(3 x^{2} y - y^{2} x) d x + (x^{3} - x^{2} y) d y = 0$

Etapa 7

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y - y^{2} x d x$

Etapa 8

Integre $M (x, y) = 3 x^{2} y - y^{2} x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 8.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y d x + \int - y^{2} x d x$

Etapa 8.2

Como $3 y$ é constante com relação a $x$ , mova $3 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y \int x^{2} d x + \int - y^{2} x d x$

Etapa 8.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - y^{2} x d x$

Etapa 8.4

Como $- y^{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $- y^{2}$ para fora da integral.

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} \int x d x$

Etapa 8.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 y (\frac{1}{3} x^{3} + C) - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 8.6

Simplifique.

$f (x, y) = 3 \cdot \frac{1}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 8.7.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - y^{2} \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 8.7.5

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e $y^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + C$

Etapa 8.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.8.1

Reordene os termos.

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2}) + C$

Etapa 8.8.2

Remova os parênteses.

$f (x, y) = y x^{3} - (\frac{1}{2} x^{2}) y^{2} + C$

Etapa 8.8.3

Remova os parênteses.

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Etapa 9

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$

Etapa 10

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x^{3}] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Como $x^{3}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $y x^{3}$ em relação a $y$ é $x^{3} \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.3.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4

Avalie $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{x^{2}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{d}{d y} [- \frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.3

Como $- \frac{x^{2}}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- \frac{y^{2} x^{2}}{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} - \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{3} - 2 \frac{x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.6

Combine $- 2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.7

Combine $\frac{- 2 x^{2}}{2}$ e $y$ .

$x^{3} + \frac{- 2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.8

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.8.1

Fatore $2$ de $- 2 x^{2} y$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.8.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} + \frac{2 (- x^{2} y)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.8.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} + \frac{- x^{2} y}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.4.8.2.4

Divida $- x^{2} y$ por $1$ .

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.5

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} - x^{2} y + \frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 11.6

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{3} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y$

Etapa 12

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} - x^{2} y = x^{3} - x^{2} y - x^{3}$

Etapa 12.1.2

Some $x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$

Etapa 12.1.3

Combine os termos opostos em $x^{3} - x^{2} y - x^{3} + x^{2} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.3.1

Subtraia $x^{3}$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + 0 + x^{2} y$

Etapa 12.1.3.2

Some $- x^{2} y$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - x^{2} y + x^{2} y$

Etapa 12.1.3.3

Some $- x^{2} y$ e $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $0$ para encontrar $g (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Etapa 13.3

A integral de $0$ com relação a $y$ é $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Etapa 13.4

Some $0$ e $C$ .

$g (y) = C$

Etapa 14

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} y^{2} + C$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Etapa 15.2

Combine $y^{2}$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{3} - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$