Cálculo Exemplos

$x d y + (3 x - 2 y) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 3 x - 2 y$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x - 2 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 2.2.2

Como $3 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $3 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Etapa 2.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 = 1$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$- 2 = 1$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $- 2$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $1$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 - 1}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x$ por $N$ .

$\frac{- 2 - 1}{x}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$\frac{- 3}{x}$

Etapa 5.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Etapa 6.2

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Etapa 6.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 6.4

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 6.5

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- 3 \ln (| x |)$ movendo $- 3$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $3 x - 2 y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(3 x - 2 y) \frac{1}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $3 x - 2 y$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Etapa 7.3

Multiplique $x$ por $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.4.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Etapa 7.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{2}} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = \frac{1}{x^{2}}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} y + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{1}{x^{2}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}} + g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y}{x^{2}} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}]$ .

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Etapa 12.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{y}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 12.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 12.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.5

Simplifique.

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Etapa 12.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.5.2

Combine os termos.

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Etapa 12.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$y \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.5.2.3

Combine $y$ e $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.5.2.4

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$- \frac{2 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 12.5.3

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Etapa 13

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 13.1.1

Mova todos os termos que contêm variáveis para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 13.1.1.1

Subtraia $\frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} - \frac{3 x - 2 y}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x - 2 y)}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x) - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x + 2 y}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.4

Combine os termos opostos em $- 2 y - 3 x + 2 y$ .

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Etapa 13.1.1.4.1

Some $- 2 y$ e $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.4.2

Some $- 3 x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1.5.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

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Etapa 13.1.1.5.1.1

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{3}} = 0$

Etapa 13.1.1.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 13.1.1.5.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.1.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x^{2}} = 0$

Etapa 13.1.2

Some $\frac{3}{x^{2}}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Etapa 14

Encontre a antiderivada de $\frac{3}{x^{2}}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 14.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 14.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Etapa 14.3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 14.4

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$g (x) = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 14.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 14.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 14.5.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$g (x) = 3 \int x^{- 2} d x$

Etapa 14.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 (- x^{- 1} + C)$

Etapa 14.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.7.1

Reescreva $3 (- x^{- 1} + C)$ como $3 (- \frac{1}{x}) + C$ .

$g (x) = 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Etapa 14.7.2

Simplifique.

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Etapa 14.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$g (x) = - 3 \frac{1}{x} + C$

Etapa 14.7.2.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = \frac{- 3}{x} + C$

Etapa 14.7.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$g (x) = - \frac{3}{x} + C$

Etapa 15

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} - \frac{3}{x} + C$