Cálculo Exemplos

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 x y - x$ .

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Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Etapa 1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x y - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Etapa 2.5

Some $0$ e $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x = 2 x$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Etapa 5

Integre $M (x, y) = 2 x y - x$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Divida a integral única em várias integrais.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Etapa 5.2

Como $2 y$ é constante com relação a $x$ , mova $2 y$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Etapa 5.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 5.6

Simplifique.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7

Simplifique.

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Etapa 5.7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.7.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Etapa 5.7.4

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.5

Para escrever $y x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.6

Combine $y x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.8

Mova $2$ para a esquerda de $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.7.9

Remova os parênteses.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Etapa 5.8

Reordene os termos.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (y)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ em relação a $y$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y x^{2} - x^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.3

Como $2 x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y x^{2}$ em relação a $y$ é $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.5

Como $- x^{2}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.7

Some $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.8

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.9

Combine $\frac{2}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.10

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.3.10.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (y)$ é $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Etapa 8.5

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d y}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d y}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $y^{2}$ para encontrar $g (y)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (y)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.4

Para escrever $y x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.5

Combine $y x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1.7.1

Fatore $x^{2}$ de $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Etapa 12.1.7.1.1

Fatore $x^{2}$ de $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.7.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.7.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 12.1.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Etapa 12.2

Para escrever $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Etapa 12.3

Para escrever $\frac{y^{3}}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 12.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 12.4.1

Multiplique $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 12.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Etapa 12.4.3

Multiplique $\frac{y^{3}}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Etapa 12.4.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6.4

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6.6

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6.7

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Etapa 12.6.8

Mova $2$ para a esquerda de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$