Cálculo Exemplos

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = - 5 x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

Etapa 2.2

Como $- 5 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} + 4 y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $x y^{2}$ em relação a $x$ é $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.3.3

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.4.1

Como $4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

Etapa 3.4.2

Some $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = y^{2}$

Etapa 4.2

O lado esquerdo não é igual ao direito. Portanto, a equação não é uma identidade.

$0 = y^{2}$ não é uma identidade.

Etapa 5

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Etapa 5.1

Substitua $0$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Etapa 5.2

Substitua $y^{2}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

Etapa 5.3

Substitua $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $N$ .

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Etapa 5.3.1

Substitua $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $N$ .

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $y^{2}$ de $0$ .

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Etapa 5.3.3

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

Etapa 5.3.3.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $y^{2}$ .

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Etapa 5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{x + 4}$

Etapa 5.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x + 4}$

Etapa 5.4

Encontre o fator de integração $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

Etapa 6

Avalie a integral $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ .

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Etapa 6.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

Etapa 6.2

Deixe $u = x + 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = x + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 6.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 6.2.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 6.3

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Etapa 6.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

Etapa 6.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.6.1

Simplifique $- \ln (| x + 4 |)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

Etapa 6.6.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

Etapa 6.6.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

Etapa 7

Multiplique ambos os lados de $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ pelo fator de integração $\frac{1}{x + 4}$ .

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Etapa 7.1

Multiplique $- 5 x$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2

Multiplique $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ .

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Etapa 7.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{x + 4}$ .

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.2.2

Combine $x$ e $\frac{- 5}{x + 4}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.3

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Etapa 7.5

Multiplique $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

Etapa 7.6

Multiplique $x y^{2} + 4 y^{2}$ por $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Etapa 7.7

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Etapa 7.7.1

Fatore $y^{2}$ de $x y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Etapa 7.7.2

Fatore $y^{2}$ de $4 y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

Etapa 7.7.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Etapa 7.8

Cancele o fator comum de $x + 4$ .

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Etapa 7.8.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Etapa 7.8.2

Divida $y^{2}$ por $1$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

Etapa 8

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

Etapa 9

Integre $N (x, y) = y^{2}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 9.1

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Etapa 10

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Etapa 11

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Etapa 12

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 12.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Etapa 12.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Etapa 12.3

Como $\frac{1}{3} y^{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} y^{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Etapa 12.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Etapa 12.5

Some $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Etapa 13

Encontre a antiderivada de $- \frac{5 x}{x + 4}$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 13.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Etapa 13.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Etapa 13.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

Etapa 13.4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

Etapa 13.5

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

Etapa 13.6

Divida $x$ por $x + 4$ .

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Etapa 13.6.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$4$

$x$

$0$

Etapa 13.6.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

Etapa 13.6.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

Etapa 13.6.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 4$ .

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

Etapa 13.6.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

Etapa 13.6.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

Etapa 13.7

Divida a integral única em várias integrais.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Etapa 13.8

Aplique a regra da constante.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Etapa 13.9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

Etapa 13.10

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Etapa 13.11

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Etapa 13.12

Deixe $u = x + 4$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 13.12.1

Deixe $u = x + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 13.12.1.1

Diferencie $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Etapa 13.12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 13.12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 13.12.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 13.12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 13.12.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 13.13

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

Etapa 13.14

Simplifique.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

Etapa 13.15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 4$ .

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Etapa 14

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Etapa 15

Simplifique $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ .

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Etapa 15.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.2.1

Simplifique $- 4 \ln (| x + 4 |)$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

Etapa 15.1.2.2

Remova o valor absoluto em ${| x + 4 |}^{4}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Etapa 15.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Etapa 15.1.4

Multiplique $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ .

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Etapa 15.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

Etapa 15.1.4.2

Simplifique $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ movendo $5$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

Etapa 15.1.5

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ .

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Etapa 15.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

Etapa 15.1.5.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

Etapa 15.2

Para escrever $\ln ({(x + 4)}^{20})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Etapa 15.3

Combine $\ln ({(x + 4)}^{20})$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Etapa 15.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Etapa 15.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.5.1

Multiplique $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ .

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Etapa 15.5.1.1

Reordene $\ln ({(x + 4)}^{20})$ e $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

Etapa 15.5.1.2

Simplifique $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

Etapa 15.5.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ .

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Etapa 15.5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

Etapa 15.5.2.2

Multiplique $20$ por $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$