Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 1}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2}$ e $d v = \sqrt{x - 1}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Etapa 2.3.2.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{2}{3} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3} \cdot 2$ para fora da integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

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Etapa 2.3.4.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Etapa 2.3.5

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.5.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.5.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 2.3.5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.5.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.5.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 1) d u$

Etapa 2.3.6

Expanda $u^{\frac{3}{2}} (u + 1)$ .

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Etapa 2.3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u$

Etapa 2.3.6.2

Reordene $u^{\frac{3}{2}}$ e $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2.3.6.3

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2.3.6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2.3.6.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2.3.6.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2.3.6.7

Some $3$ e $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2.3.6.8

Multiplique $u^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 2.3.7

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 2.3.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{5}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{2} + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 2.3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{2} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{3})$

Etapa 2.3.10

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.1

Simplifique.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.10.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.2

Combine $\frac{2 x^{2}}{3}$ e ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.3

Para escrever $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.4

Combine $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.6

Combine $\frac{2}{7}$ e $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.7

Combine $\frac{2}{5}$ e $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.8

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.9

Combine $- 3$ e $\frac{4}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.10

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.11

Cancele o fator comum de $- 12$ e $3$ .

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Etapa 2.3.10.2.11.1

Fatore $3$ de $- 12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.11.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.10.2.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.11.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.11.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.10.2.11.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Etapa 2.3.12

Reordene os termos.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + C_{4}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + K$