Cálculo Exemplos

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Reordene $x^{2}$ e $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{36}$ como ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Etapa 2.2.3

A integral de $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4

Simplifique.

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.2.4.4

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Divida cada termo em $6 \arctan (6 x) = t + K$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $6 \arctan (6 x) = t + K$ por $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Etapa 3.1.2.1.2

Divida $\arctan (6 x)$ por $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Etapa 3.2

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do arco tangente.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $K$ , substituindo $0$ por $t$ e $2$ por $x$ em $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Etapa 6

Resolva $K$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Etapa 6.2

Multiplique os dois lados da equação por $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.1.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 6.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Etapa 6.4

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $K$ de dentro da tangente.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Etapa 6.5

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.5.1

Combine os termos opostos em $\frac{0}{6} + K$ .

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Etapa 6.5.1.1

Divida $0$ por $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Etapa 6.5.1.2

Some $0$ e $K$ .

$K = \arctan (12)$

Etapa 6.6

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.6.1

Avalie $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Etapa 6.7

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Etapa 6.8

Resolva $K$ .

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Etapa 6.8.1

Remova os parênteses.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Etapa 6.8.2

Remova os parênteses.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Etapa 6.8.3

Some $3.14159265$ e $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Etapa 6.9

Encontre o período de $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

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Etapa 6.9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 6.9.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 6.9.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 6.9.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 6.10

O período da função $\tan (\frac{0}{6} + K)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6.11

Consolide $1.48765509 + π n$ e $4.62924774 + π n$ em $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

Etapa 7

Substitua $1.48765509 + π n$ por $K$ em $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Substitua $1.48765509 + π n$ por $K$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$