Cálculo Exemplos

$(y^{2} + 2) d x - x y d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(y^{2} + 2) d x$ dos dois lados da equação.

$- x y d y = - (y^{2} + 2) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ .

$\frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3.2.2

Fatore $x$ de $x y$ .

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{y^{2} + 2} y d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3.3

Combine $\frac{- 1}{y^{2} + 2}$ e $y$ .

$\frac{- y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Etapa 3.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $y^{2} + 2$ .

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Etapa 3.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ para o numerador.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Etapa 3.6.2

Fatore $y^{2} + 2$ de $x (y^{2} + 2)$ .

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Etapa 3.6.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Etapa 3.6.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

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Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int - \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.2

Deixe $u = y^{2} + 2$ . Depois, $d u = 2 y d y$ , então, $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.2.2.1

Deixe $u = y^{2} + 2$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Diferencie $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

Etapa 4.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.2.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

Etapa 4.2.2.1.4

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 y + 0$

Etapa 4.2.2.1.5

Some $2 y$ e $0$ .

$2 y$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3

Simplifique.

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |)) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |))$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\ln (| y^{2} + 2 |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.3

Multiplique.

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Etapa 5.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| y^{2} + 2 |)$ por $1$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique $- 2 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |)) - 2 C$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = 2 \ln (| x |) - 2 C$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Etapa 5.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Simplifique $\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Etapa 5.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.4.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Etapa 5.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln (x^{2}) = - 2 C$

Etapa 5.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Etapa 5.5

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}})} = e^{- 2 C}$

Etapa 5.6

Reescreva $\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}$

Etapa 5.7

Resolva $y$ .

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Etapa 5.7.1

Reescreva a equação como $\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$

Etapa 5.7.2

Multiplique os dois lados por $x^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Etapa 5.7.3

Simplifique.

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Etapa 5.7.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.7.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.7.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Etapa 5.7.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$| y^{2} + 2 | = e^{- 2 C} x^{2}$

Etapa 5.7.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.7.3.2.1

Reordene os fatores em $e^{- 2 C} x^{2}$ .

$| y^{2} + 2 | = x^{2} e^{- 2 C}$

Etapa 5.7.4

Resolva $y$ .

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Etapa 5.7.4.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 2 = \pm x^{2} e^{- 2 C}$

Etapa 5.7.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{- 2 C} - 2$

Etapa 5.7.4.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{- 2 C} - 2}$

Etapa 6

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 6.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 2}$

Etapa 6.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 2}$