Cálculo Exemplos

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Etapa 2.2

A integral de $e^{y}$ com relação a $y$ é $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Combine $\frac{2 \ln (x)}{x}$ e $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x) d x}{x} d x$

Etapa 2.3.2

Como $2 d x$ é constante com relação a $x$ , mova $2 d x$ para fora da integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 2.3.3.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int u d u$

Etapa 2.3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.1

Reescreva $2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ como $2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2

Simplifique.

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Etapa 2.3.5.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} d x u^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.2

Combine $\frac{2}{2}$ e $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.5.2.3.1

Cancele o fator comum.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.5.2.3.2

Divida $d x$ por $1$ .

$e^{y} + C_{1} = d x u^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = d x \ln^{2} (x) + C_{2}$

Etapa 2.3.7

Reordene os termos.

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) d x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) d x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y}) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Etapa 3.2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Expanda $\ln (e^{y})$ movendo $y$ para fora do logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Etapa 3.2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $y$ por $1$ .

$y = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$