Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $y \tan (x)$ dos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Etapa 2.2

Integre $- 1 \tan (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\tan (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\sec^{- 1} (x)$

Etapa 2.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Etapa 2.7

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Etapa 2.8

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

Etapa 2.9

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $\cos (x)$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1.1

Mova os parênteses.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.2.1.2

Reordene $\cos (x)$ e $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.2.1.3

Adicione parênteses.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.2.1.4

Reescreva $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ em termos de senos e cossenos.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.2.1.5

Cancele os fatores comuns.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.2.2

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Etapa 7.2

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 7.2.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 7.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

Etapa 7.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

Etapa 7.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

Etapa 7.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u$ com relação a $u$ é $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Etapa 7.6

Simplifique.

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Etapa 7.6.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Etapa 7.6.2

Simplifique.

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Etapa 7.6.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Etapa 7.6.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.6.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Etapa 7.6.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

Etapa 7.6.2.3

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ por $\cos (x)$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ por $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Etapa 8.3.1.2

Separe as frações.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 8.3.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Etapa 8.3.1.4

Divida $C$ por $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$