Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \sqrt{y}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (3 x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{\sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{y}}$ por $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.2

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.3

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.6

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.3.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.4

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

Etapa 1.2.5

Multiplique $\frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{3 \sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

Etapa 1.2.5.2

Combine $\frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y}$ e $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

Etapa 1.2.5.3

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

Etapa 1.2.5.4

Eleve $\sqrt{y}$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

Etapa 1.2.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

Etapa 1.2.5.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

Etapa 1.2.6

Reescreva ${\sqrt{y}}^{2}$ como $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Etapa 1.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Etapa 1.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Etapa 1.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Etapa 1.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{1}}{y}$

Etapa 1.2.6.5

Simplifique.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

Etapa 1.2.7

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

Etapa 1.2.7.2

Divida $x^{2} \cdot 3$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 3$

Etapa 1.2.8

Mova $3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 3 x^{2} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $y$ é $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Divida cada termo em $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ por $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.1.2.2

Divida $y^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Etapa 3.2

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Simplifique ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y^{1} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique.

$y = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique ${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva ${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ como $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Expanda $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x^{3}}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

Etapa 3.3.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.1

Combine.

$y = \frac{x^{3} x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{3 + 3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.2.2

Some $3$ e $3$ .

$y = \frac{x^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.4

Combine.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.6

Combine.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.7

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8

Multiplique $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.1

Multiplique $\frac{K}{2}$ por $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.2

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.3

Eleve $K$ à potência de $1$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.1.3.1.8.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2

Some $\frac{x^{3} K}{4}$ e $\frac{K x^{3}}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.3.2.1

Reordene $x^{3}$ e $K$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.3.2.2

Some $\frac{K x^{3}}{4}$ e $\frac{K x^{3}}{4}$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 3.3.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + K$