Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 4$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 4}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + 4$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 4} (y^{2} + 4)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 4} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 4} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 4} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $4$ .

$\int \frac{1}{4 + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{2^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{2^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} + C_{1}$ como $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ por $2$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) = x + K$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} y) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y$ .

$\frac{1}{2} \arctan (\frac{y}{2}) \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{y}{2})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\arctan (\frac{y}{2})}{2} \cdot 2 = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\arctan (\frac{y}{2}) = x \cdot 2 + K \cdot 2$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 \cdot x + K \cdot 2$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $K$ .

$\arctan (\frac{y}{2}) = 2 x + 2 K$

Etapa 3.2

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$\frac{y}{2} = \tan (2 x + 2 K)$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{y}{2} = 2 \tan (2 x + 2 K)$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 2 \tan (2 x + 2 K)$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 2 \tan (2 x + K)$