Cálculo Exemplos

$(x + y e^{2 x y}) d x + 1 x e^{2 x y} d y = 0$

Etapa 1

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = x + y e^{2 x y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y e^{2 x y}]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y e^{2 x y}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Etapa 1.2.2

Como $x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [y e^{2 x y}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = y$ e $g (y) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y \frac{d}{d y} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = e^{y}$ e $g (y) = 2 x y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{u} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} \frac{d}{d y} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.3

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \frac{d}{d y} [y])) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x \cdot 1)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Etapa 1.3.7

Multiplique $e^{2 x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Some $0$ e $y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (e^{2 x y} (2 x)) + e^{2 x y}$

Etapa 1.4.2

Reordene os termos.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Etapa 1.4.3

Reordene os fatores em $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [1 x e^{2 x y}]$

Etapa 2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{2 x y}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x y$ .

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Etapa 2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y} \cdot 1$

Etapa 2.5.5

Multiplique $e^{2 x y}$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (e^{2 x y} (2 y)) + e^{2 x y}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Reordene os termos.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$

Etapa 2.6.2

Reordene os fatores em $2 e^{2 x y} x y + e^{2 x y}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Etapa 3

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 3.1

Substitua $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$

Etapa 3.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y} = 2 x y e^{2 x y} + e^{2 x y}$ é uma identidade.

Etapa 4

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 1 x e^{2 x y} d y$

Etapa 5

Integre $N (x, y) = 1 x e^{2 x y}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 5.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$f (x, y) = \int x e^{2 x y} d y$

Etapa 5.2

Como $x$ é constante com relação a $y$ , mova $x$ para fora da integral.

$f (x, y) = x \int e^{2 x y} d y$

Etapa 5.3

Deixe $u = 2 x y$ . Depois, $d u = 2 x d y$ , então, $\frac{1}{2 x} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.3.1

Deixe $u = 2 x y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 5.3.1.1

Diferencie $2 x y$ .

$\frac{d}{d y} [2 x y]$

Etapa 5.3.1.2

Como $2 x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $y$ é $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 x \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 5.3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x \cdot 1$

Etapa 5.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x$

Etapa 5.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$f (x, y) = x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u$

Etapa 5.4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u$

Etapa 5.5

Como $\frac{1}{2 x}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2 x}$ para fora da integral.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u)$

Etapa 5.6

Simplifique.

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Etapa 5.6.1

Combine $\frac{1}{2 x}$ e $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Etapa 5.6.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum.

$f (x, y) = \frac{x}{2 x} \int e^{u} d u$

Etapa 5.6.2.2

Reescreva a expressão.

$f (x, y) = \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Etapa 5.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Etapa 5.8

Simplifique.

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{u} + C$

Etapa 5.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x y$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + C$

Etapa 6

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$

Etapa 7

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 8.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} e^{2 x y}]$ .

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Etapa 8.3.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} e^{2 x y}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x y}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x y$ .

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Etapa 8.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x y$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.3

Como $2 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x y$ em relação a $x$ é $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2 x y} (2 y)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.6

Combine $e^{2 x y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 x y}}{2} (2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.7

Combine $2$ e $\frac{e^{2 x y}}{2}$ .

$\frac{2 e^{2 x y}}{2} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.8

Combine $\frac{2 e^{2 x y}}{2}$ e $y$ .

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.3.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 e^{2 x y} y}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.3.9.2

Divida $e^{2 x y} y$ por $1$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{2 x y} y + \frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y = x + y e^{2 x y}$

Etapa 8.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + e^{2 x y} y$ .

$\frac{d g}{d x} + y e^{2 x y} = x + y e^{2 x y}$

Etapa 9

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 9.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.1.1

Subtraia $y e^{2 x y}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$

Etapa 9.1.2

Combine os termos opostos em $x + y e^{2 x y} - y e^{2 x y}$ .

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Etapa 9.1.2.1

Subtraia $y e^{2 x y}$ de $y e^{2 x y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Etapa 9.1.2.2

Some $x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Etapa 10

Encontre a antiderivada de $x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 10.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Etapa 10.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Etapa 10.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 11

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} e^{2 x y} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x y}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 x y}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$