Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 x {(y + 4)}^{2}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (3 x {(y + 4)}^{2})$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Etapa 1.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Etapa 1.2.3

Cancele o fator comum de ${(y + 4)}^{2}$ .

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Etapa 1.2.3.1

Fatore ${(y + 4)}^{2}$ de $x {(y + 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Etapa 1.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Etapa 1.2.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = 3 x d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = \int 3 x d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Deixe $u = y + 4$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.1.1

Deixe $u = y + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Diferencie $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Etapa 2.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 4$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 2.2.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Etapa 2.2.1.1.4

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.2.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int 3 x d x$

Etapa 2.2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int 3 x d x$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int 3 x d x$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int 3 x d x$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int 3 x d x$

Etapa 2.2.4

Reescreva $- u^{- 1} + C_{1}$ como $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int 3 x d x$

Etapa 2.2.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y + 4$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \int 3 x d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 \int x d x$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.3.3.1

Reescreva $3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ como $3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.3.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$

Etapa 3.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$y + 4, 2, 1$

Etapa 3.2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 3.2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 3.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 3.2.6

O MMC de $1, 2, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 3.2.7

O fator de $y + 4$ é o próprio $y + 4$ .

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 3.2.8

O MMC de $y + 4$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y + 4$

Etapa 3.2.9

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$2 (y + 4)$

Etapa 3.3

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ por $2 (y + 4)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ por $2 (y + 4)$ .

$- \frac{1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $y + 4$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{y + 4}$ para o numerador.

$\frac{- 1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.2.1.2

Fatore $y + 4$ de $2 (y + 4)$ .

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.2.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.2.1.4

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$- 2 = 3 x^{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = 3 x^{2} y + 3 x^{2} \cdot 4 + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.3.1.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + K (2 (y + 4))$

Etapa 3.3.3.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K (y + 4)$

Etapa 3.3.3.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 2 K \cdot 4$

Etapa 3.3.3.1.7

Multiplique $4$ por $2$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K$

Etapa 3.4

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a equação como $3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$ .

$3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$

Etapa 3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.4.2.1

Subtraia $12 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y + 2 K y + 8 K = - 2 - 12 x^{2}$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $8 K$ dos dois lados da equação.

$3 x^{2} y + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Etapa 3.4.3

Fatore $y$ de $3 x^{2} y + 2 K y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Fatore $y$ de $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Etapa 3.4.3.2

Fatore $y$ de $2 K y$ .

$y (3 x^{2}) + y (2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Etapa 3.4.3.3

Fatore $y$ de $y (3 x^{2}) + y (2 K)$ .

$y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Etapa 3.4.4

Divida cada termo em $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ por $3 x^{2} + 2 K$ e simplifique.

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Etapa 3.4.4.1

Divida cada termo em $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ por $3 x^{2} + 2 K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $3 x^{2} + 2 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.4.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.3

Fatore $2$ de $- 2 - 12 x^{2} - 8 K$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.2.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1) - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.3.2

Fatore $2$ de $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.3.3

Fatore $2$ de $- 8 K$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.3.4

Fatore $2$ de $2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.3.5

Fatore $2$ de $2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.5

Fatore $- 1$ de $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - (6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.7

Fatore $- 1$ de $- 4 K$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.8

Fatore $- 1$ de $- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2} + 4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 3.4.4.3.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K}$