Cálculo Exemplos

$x \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x^{3}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $x \frac{d y}{d x} + 4 y = 2 x^{3}$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{4 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{4 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x}$

Etapa 1.2.2

Divida $\frac{d y}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x}$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

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Etapa 1.3.1

Fatore $x$ de $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x}$

Etapa 1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}}$

Etapa 1.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1}$

Etapa 1.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{1}$

Etapa 1.3.2.5

Divida $2 x^{2}$ por $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{x} = 2 x^{2}$

Etapa 1.4

Fatore $y$ de $\frac{4 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{4}{x} = 2 x^{2}$

Etapa 1.5

Reordene $y$ e $\frac{4}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = 2 x^{2}$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = \frac{4}{x}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{4}{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{4 \ln (x)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln (x^{4})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$x^{4}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $x^{4}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} (2 x^{2})$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{4}{x}$ e $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} (2 x^{2})$

Etapa 3.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} (2 x^{2})$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 2 x^{4} x^{2}$

Etapa 3.4

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.4.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 2 (x^{2} x^{4})$

Etapa 3.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 2 x^{2 + 4}$

Etapa 3.4.3

Some $2$ e $4$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 2 x^{6}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = 2 x^{6}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int 2 x^{6} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$x^{4} y = \int 2 x^{6} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$x^{4} y = 2 \int x^{6} d x$

Etapa 7.2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{6}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$x^{4} y = 2 (\frac{1}{7} x^{7} + C)$

Etapa 7.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.3.1

Reescreva $2 (\frac{1}{7} x^{7} + C)$ como $2 (\frac{1}{7}) x^{7} + C$ .

$x^{4} y = 2 (\frac{1}{7}) x^{7} + C$

Etapa 7.3.2

Combine $2$ e $\frac{1}{7}$ .

$x^{4} y = \frac{2}{7} x^{7} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em $x^{4} y = \frac{2}{7} x^{7} + C$ por $x^{4}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $x^{4} y = \frac{2}{7} x^{7} + C$ por $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{2}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{2}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{7} x^{7}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $x^{7}$ e $x^{4}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Fatore $x^{4}$ de $\frac{2}{7} x^{7}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{2}{7} x^{3})}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{2}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{4} (\frac{2}{7} x^{3})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\frac{2}{7} x^{3}}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.3.1.1.2.4

Divida $\frac{2}{7} x^{3}$ por $1$ .

$y = \frac{2}{7} x^{3} + \frac{C}{x^{4}}$

Etapa 8.3.1.2

Combine $\frac{2}{7}$ e $x^{3}$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{7} + \frac{C}{x^{4}}$