Cálculo Exemplos

$(3 x + 2) d y + (2 y - 5) d x = 0$

Etapa 1

Subtraia $(2 y - 5) d x$ dos dois lados da equação.

$(3 x + 2) d y = - (2 y - 5) d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $3 x + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Etapa 3.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (- (2 y - 5)) d x$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

Etapa 3.3

Cancele o fator comum de $2 y - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{(3 x + 2) (2 y - 5)}$ para o numerador.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (2 y - 5)} (2 y - 5) d x$

Etapa 3.3.2

Fatore $2 y - 5$ de $(3 x + 2) (2 y - 5)$ .

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

Etapa 3.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{(2 y - 5) (3 x + 2)} (2 y - 5) d x$

Etapa 3.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

Etapa 3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2 y - 5} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{2 y - 5} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Deixe $u_{1} = 2 y - 5$ . Depois, $d u_{1} = 2 d y$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Deixe $u_{1} = 2 y - 5$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.1

Diferencie $2 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [2 y - 5]$

Etapa 4.2.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y - 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Etapa 4.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Etapa 4.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Etapa 4.2.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Etapa 4.2.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5$ em relação a $y$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.2.1.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2.1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.2.2.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.2.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.2.4

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.2.6

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 y - 5$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Etapa 4.3.2

Deixe $u_{2} = 3 x + 2$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Deixe $u_{2} = 3 x + 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Diferencie $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Etapa 4.3.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.3.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.3.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.3.2.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 4.3.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 + 0$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Some $3$ e $0$ .

$3$

Etapa 4.3.2.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 4.3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{u_{2}}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Etapa 4.3.3.2

Mova $3$ para a esquerda de $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

Etapa 4.3.4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 4.3.5

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Etapa 4.3.7

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x + 2$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

Etapa 5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |)) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Etapa 5.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Simplifique $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 y - 5 |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\ln (| 2 y - 5 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{\ln (| 2 y - 5 |)}{2} = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Etapa 5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique $2 (- \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Combine $\ln (| 3 x + 2 |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C)$

Etapa 5.2.2.1.2

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 5.2.2.1.3

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.3.1

Combine $C$ e $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 (- \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + \frac{C \cdot 3}{3})$

Etapa 5.2.2.1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + C \cdot 3}{3}$

Etapa 5.2.2.1.4

Mova $3$ para a esquerda de $C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = 2 \frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$

Etapa 5.2.2.1.5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C}{3}$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- \ln (| 3 x + 2 |) + 3 C)}{3}$

Etapa 5.2.2.1.5.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (| 3 x + 2 |)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) + 3 C)}{3}$

Etapa 5.2.2.1.5.3

Fatore $- 1$ de $3 C$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C))}{3}$

Etapa 5.2.2.1.5.4

Fatore $- 1$ de $- (\ln (| 3 x + 2 |)) - (- 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

Etapa 5.2.2.1.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.5.5.1

Reescreva $- (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ como $- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)$ .

$\ln (| 2 y - 5 |) = \frac{2 (- 1 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C))}{3}$

Etapa 5.2.2.1.5.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$

Etapa 5.3

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| 2 y - 5 |)} = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Etapa 5.4

Reescreva $\ln (| 2 y - 5 |) = - \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} = | 2 y - 5 |$

Etapa 5.5

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$ .

$| 2 y - 5 | = e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Etapa 5.5.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$2 y - 5 = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}$

Etapa 5.5.3

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$

Etapa 5.5.4

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Divida cada termo em $2 y = \pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}}}{2} + \frac{5}{2}$

Etapa 5.5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) - 3 C)}{3}} + 5}{2}$

Etapa 6

Simplifique a constante de integração.

$y = \frac{\pm e^{- \frac{2 (\ln (| 3 x + 2 |) + C)}{3}} + 5}{2}$