Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 2$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int 2 d x}$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$e^{2 x + C_{1}}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{2 x}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{2 x}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

Etapa 3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

Etapa 7.2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3.2

Combine $x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Etapa 7.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Etapa 7.5

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 7.5.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 7.5.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 7.5.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 7.5.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 7.5.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

Etapa 7.6

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

Etapa 7.7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

Etapa 7.8

Simplifique.

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Etapa 7.8.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7.9

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

Etapa 7.10

Reescreva $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ como $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

Etapa 7.11

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Etapa 7.12

Simplifique.

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Etapa 7.12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.12.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Etapa 7.12.1.2

Combine $\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Etapa 7.12.1.3

Combine $e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Etapa 7.12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Etapa 7.12.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.12.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Etapa 7.12.3.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Etapa 7.12.3.3

Reescreva a expressão.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Etapa 7.12.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 7.12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{e^{2 x}}{4}$ para o numerador.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Etapa 7.12.4.2

Cancele o fator comum.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Etapa 7.12.4.3

Reescreva a expressão.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

Etapa 8

Divida cada termo em $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ por $e^{2 x}$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ por $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.2.1.2

Divida $v$ por $1$ .

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.1.2

Divida $2 x$ por $1$ .

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2

Cancele o fator comum de $e^{2 x}$ .

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Etapa 8.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 8.3.1.2.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Etapa 10

Reescreva a equação.

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

Etapa 11

Integre os dois lados.

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Etapa 11.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.3

Integre o lado direito.

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Etapa 11.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.3.2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.3.4

Aplique a regra da constante.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.3.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.3.6

Como $C_{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

Etapa 11.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.3.7.1

Negative o expoente de $e^{2 x}$ e o mova para fora do denominador.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Etapa 11.3.7.2

Simplifique.

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Etapa 11.3.7.2.1

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Etapa 11.3.7.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

Etapa 11.3.7.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

Etapa 11.3.7.2.2

Multiplique $e^{- 2 x}$ por $1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

Etapa 11.3.8

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Depois, $d u_{2} = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 11.3.8.1

Deixe $u_{2} = - 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 11.3.8.1.1

Diferencie $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 11.3.8.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11.3.8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 11.3.8.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 11.3.8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Etapa 11.3.9

Simplifique.

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Etapa 11.3.9.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Etapa 11.3.9.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Etapa 11.3.10

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Etapa 11.3.11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Etapa 11.3.12

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

Etapa 11.3.13

Simplifique.

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

Etapa 11.3.14

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 2 x$ .

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

Etapa 11.3.15

Reordene os termos.

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

Etapa 11.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$