Cálculo Exemplos

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial para ajustá-la à técnica de equação diferencial exata.

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Etapa 1.1

Reescreva.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

Etapa 2

Encontre $\frac{\partial M}{\partial y}$ em $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

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Etapa 2.1

Diferencie $M$ em relação a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{2 x} y - x$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2 e^{2 x}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 e^{2 x} y$ em relação a $y$ é $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- x$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- x$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

Etapa 3

Encontre $\frac{\partial N}{\partial x}$ em $N (x, y) = e^{2 x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie $N$ em relação a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

Etapa 3.3.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

Etapa 4

Verifique se $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Etapa 4.1

Substitua $2 e^{2 x}$ por $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 e^{2 x}$ por $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

Etapa 4.2

Como os dois lados demonstraram ser equivalentes, a equação é uma identidade.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ é uma identidade.

Etapa 5

A integral de $f (x, y)$ é $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

Etapa 6

Integre $N (x, y) = e^{2 x}$ para encontrar $f (x, y)$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da constante.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

Etapa 7

Como a integral de $g (x)$ conterá uma constante de integração, podemos substituir $C$ por $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

Etapa 8

Defina $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9

Encontre $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Etapa 9.1

Diferencie $f$ em relação a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{2 x} y + g (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

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Etapa 9.3.1

Como $y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e^{2 x} y$ em relação a $x$ é $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 9.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.3.7

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.4

Diferencie usando a regra da função que afirma que a derivada de $g (x)$ é $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.5

Simplifique.

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Etapa 9.5.1

Reordene os termos.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 9.5.2

Reordene os fatores em $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

Etapa 10

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1

Resolva $\frac{d g}{d x}$ .

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Etapa 10.1.1

Reordene os fatores em $2 e^{2 x} y - x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

Etapa 10.1.2

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d g}{d x}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 10.1.2.1

Subtraia $2 y e^{2 x}$ dos dois lados da equação.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

Etapa 10.1.2.2

Combine os termos opostos em $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

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Etapa 10.1.2.2.1

Subtraia $2 y e^{2 x}$ de $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Etapa 10.1.2.2.2

Some $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Etapa 11

Encontre a antiderivada de $- x$ para encontrar $g (x)$ .

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Etapa 11.1

Integre ambos os lados de $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Etapa 11.2

Avalie $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Etapa 11.3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$g (x) = - \int x d x$

Etapa 11.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Etapa 11.5

Reescreva $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ como $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 12

Substitua por $g (x)$ em $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Etapa 13

Simplifique $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Etapa 13.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

Etapa 13.2

Reordene os fatores em $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$