Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x + 16}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = \sqrt{x + 16} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int \sqrt{x + 16} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x + 16} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Deixe $u = x + 16$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.1.1

Deixe $u = x + 16$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.1.1.1

Diferencie $x + 16$ .

$\frac{d}{d x} [x + 16]$

Etapa 2.3.1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 2.3.1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 2.3.1.1.4

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.3.1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} d u$

Etapa 2.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.3.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 16$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + K$