Cálculo Exemplos

$(2 x + 3) y^{6} d x + x^{4} (4 y + 5) d y = 0$

Etapa 1

Subtraia $(2 x + 3) y^{6} d x$ dos dois lados da equação.

$x^{4} (4 y + 5) d y = - (2 x + 3) y^{6} d x$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{x^{4} y^{6}}$ .

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} y^{6}$ .

$\frac{1}{x^{4} (y^{6})} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x^{4} y^{6}} (x^{4} (4 y + 5)) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{6}} (4 y + 5) d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{1}{y^{6}}$ por $4 y + 5$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{1}{x^{4} y^{6}} (- (2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3.4

Cancele o fator comum de $y^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{4} y^{6}}$ para o numerador.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4} y^{6}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3.4.2

Fatore $y^{6}$ de $x^{4} y^{6}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} ((2 x + 3) y^{6}) d x$

Etapa 3.4.3

Fatore $y^{6}$ de $(2 x + 3) y^{6}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

Etapa 3.4.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{y^{6} x^{4}} (y^{6} (2 x + 3)) d x$

Etapa 3.4.5

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \frac{- 1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

Etapa 3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = - \frac{1}{x^{4}} (2 x + 3) d x$

Etapa 3.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.7

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{x^{4}}$ para o numerador.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{4}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.7.2

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (2 x) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.7.3

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.7.4

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x \cdot x^{3}} (x \cdot 2) - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.7.5

Reescreva a expressão.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1}{x^{3}} \cdot 2 - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.8

Combine $\frac{- 1}{x^{3}}$ e $2$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 1 \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{4}} \cdot 3) d x$

Etapa 3.10

Multiplique $- \frac{1}{x^{4}} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} - 3 \frac{1}{x^{4}}) d x$

Etapa 3.10.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (\frac{- 2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

Etapa 3.11

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 3}{x^{4}}) d x$

Etapa 3.11.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = (- \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}}) d x$

Etapa 4

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{4 y + 5}{y^{6}} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Mova $y^{6}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (4 y + 5) {(y^{6})}^{- 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique os expoentes em ${(y^{6})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 y + 5) y^{6 \cdot - 1} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\int (4 y + 5) y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.2

Multiplique $(4 y + 5) y^{- 6}$ .

$\int 4 y \cdot y^{- 6} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.3

Multiplique $y$ por $y^{- 6}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.3.1

Mova $y^{- 6}$ .

$\int 4 (y^{- 6} y) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.3.2

Multiplique $y^{- 6}$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\int 4 (y^{- 6} y^{1}) + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 y^{- 6 + 1} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.3.3

Some $- 6$ e $1$ .

$\int 4 y^{- 5} + 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 4 y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.5

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int y^{- 5} d y + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 5}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{4} y^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} y^{- 4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.7.1

Combine $y^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{y^{- 4}}{4} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.7.2

Mova $y^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + \int 5 y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.8

Como $5$ é constante com relação a $y$ , mova $5$ para fora da integral.

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 \int y^{- 6} d y = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- 6}$ com relação a $y$ é $- \frac{1}{5} y^{- 5}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5} y^{- 5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.1.1

Combine $y^{- 5}$ e $\frac{1}{5}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{y^{- 5}}{5} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.1.2

Mova $y^{- 5}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 y^{4}} + C_{1}) + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}} + C_{2}) = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.2

Simplifique.

$\frac{- 1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y^{4}} + 5 (- \frac{1}{5 y^{5}}) + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3.2

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - 5 \frac{1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3.3

Combine $- 5$ e $\frac{1}{5 y^{5}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 5}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3.4

Cancele o fator comum de $- 5$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.3.4.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.10.3.4.2.1

Fatore $5$ de $5 y^{5}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 (y^{5})} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{5 \cdot - 1}{5 y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y^{4}} + \frac{- 1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.2.10.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3

Integre o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \int - \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.2

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - (2 \int \frac{1}{x^{3}} d x) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.4.2

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.4.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.4.3.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.6.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.6.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.7

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Etapa 4.3.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Etapa 4.3.9.2

Mova $x^{4}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Etapa 4.3.9.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.9.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Etapa 4.3.9.3.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 \int x^{- 4} d x$

Etapa 4.3.10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 4}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{5})$

Etapa 4.3.11

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.1.1

Combine $x^{- 3}$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{5})$

Etapa 4.3.11.1.2

Mova $x^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C_{4}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{5})$

Etapa 4.3.11.2

Simplifique.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - \frac{- 1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Etapa 4.3.11.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = - - \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Etapa 4.3.11.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = 1 \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Etapa 4.3.11.3.3

Multiplique $\frac{1}{x^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{6}$

Etapa 4.3.11.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{6}$

Etapa 4.3.11.3.5

Combine $3$ e $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

Etapa 4.3.11.3.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.11.3.6.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{3 x^{3}} + C_{6}$

Etapa 4.3.11.3.6.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} + C_{3} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + C_{6}$

Etapa 4.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$- \frac{1}{y^{4}} - \frac{1}{y^{5}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}} + K$