Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

Etapa 1

Separe as variáveis.

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Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.3.2

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

Etapa 3.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.1

Simplifique $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ .

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Etapa 3.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1.1

Reescreva $\frac{\ln (| x |)}{3}$ como $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

Etapa 3.3.1.1.2

Simplifique $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ movendo $\frac{1}{3}$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Etapa 3.3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Etapa 3.4

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Etapa 3.5

Reescreva $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.6

Resolva $y$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Etapa 3.6.2

Multiplique os dois lados por ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 3.6.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.1

Cancele o fator comum de ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 3.6.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 3.6.3.1.2

Reescreva a expressão.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 3.6.4

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Simplifique a constante de integração.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$