Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Etapa 1

Reescreva a equação diferencial como $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

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Etapa 1.1

Reescreva a equação como $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

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Etapa 1.1.1

Some $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ aos dois lados da equação.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Etapa 1.2

Fatore $y$ de $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Etapa 1.3

Reordene $y$ e $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Etapa 2

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (t) d t}$ , em que $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

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Etapa 2.1

Determine a integração.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Etapa 2.2

Integre $\frac{3}{2 t + 25}$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = 2 t + 25$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.2.2.1

Deixe $u = 2 t + 25$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Diferencie $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Etapa 2.2.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 25$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 2.2.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Etapa 2.2.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 2.2.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.2.2.1.4.1

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 2.2.2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

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Etapa 2.2.3.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Etapa 2.2.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Etapa 2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Etapa 2.2.5

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Etapa 2.2.6

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Etapa 2.2.7

Simplifique.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Etapa 2.2.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Etapa 2.3

Remova a constante de integração.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências logarítmica.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 2.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3

Multiplique cada termo pelo fator de integração ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo por ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{3}{2 t + 25}$ e $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2.2

Combine ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2.3

Fatore $2 t + 25$ de ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique por $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2.4.2

Cancele o fator comum.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2.4.3

Reescreva a expressão.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2.4.4

Divida ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ por $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.2.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Etapa 3.3

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os fatores em ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 6

Integre o lado esquerdo.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 7

Integre o lado direito.

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Etapa 7.1

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Etapa 7.2

Deixe $u = 2 t + 25$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.2.1

Deixe $u = 2 t + 25$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Diferencie $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Etapa 7.2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 t + 25$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 7.2.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 7.2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 7.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Etapa 7.2.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 7.2.1.4.1

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 7.2.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 7.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 7.3

Combine $u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Etapa 7.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Etapa 7.5

Simplifique.

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Etapa 7.5.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 7.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.5.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 7.5.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 7.5.3

Multiplique $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ por $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 7.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 7.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Etapa 8

Divida cada termo em ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ por ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Divida cada termo em ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ por ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.2.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3.2

Combine $\frac{2}{5}$ e ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3.3

Para escrever $C$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3.4

Simplifique os termos.

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Etapa 8.3.4.1

Combine $C$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3.5

Mova $5$ para a esquerda de $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3.6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 8.3.7

Multiplique $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ por $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$