Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} + 5 y = 12$

Etapa 1

O fator de integração é definido pela fórmula $e^{\int P (x) d x}$ , em que $P (x) = 5$ .

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Etapa 1.1

Determine a integração.

$e^{\int 5 d x}$

Etapa 1.2

Aplique a regra da constante.

$e^{5 x + C}$

Etapa 1.3

Remova a constante de integração.

$e^{5 x}$

Etapa 2

Multiplique cada termo pelo fator de integração $e^{5 x}$ .

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo por $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + e^{5 x} (5 y) = e^{5 x} \cdot 12$

Etapa 2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = e^{5 x} \cdot 12$

Etapa 2.3

Mova $12$ para a esquerda de $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 12 \cdot e^{5 x}$

Etapa 2.4

Reordene os fatores em $e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = 12 e^{5 x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 y e^{5 x} = 12 e^{5 x}$

Etapa 3

Reescreva o lado esquerdo como resultado da diferenciação de um produto.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = 12 e^{5 x}$

Etapa 4

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int 12 e^{5 x} d x$

Etapa 5

Integre o lado esquerdo.

$e^{5 x} y = \int 12 e^{5 x} d x$

Etapa 6

Integre o lado direito.

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Etapa 6.1

Como $12$ é constante com relação a $x$ , mova $12$ para fora da integral.

$e^{5 x} y = 12 \int e^{5 x} d x$

Etapa 6.2

Deixe $u = 5 x$ . Depois, $d u = 5 d x$ , então, $\frac{1}{5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.2.1

Deixe $u = 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Diferencie $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 6.2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$5$

Etapa 6.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{5 x} y = 12 \int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Etapa 6.3

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 x} y = 12 \int \frac{e^{u}}{5} d u$

Etapa 6.4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$e^{5 x} y = 12 (\frac{1}{5} \int e^{u} d u)$

Etapa 6.5

Combine $\frac{1}{5}$ e $12$ .

$e^{5 x} y = \frac{12}{5} \int e^{u} d u$

Etapa 6.6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$e^{5 x} y = \frac{12}{5} (e^{u} + C)$

Etapa 6.7

Simplifique.

$e^{5 x} y = \frac{12}{5} e^{u} + C$

Etapa 6.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $5 x$ .

$e^{5 x} y = \frac{12}{5} e^{5 x} + C$

Etapa 7

Divida cada termo em $e^{5 x} y = \frac{12}{5} e^{5 x} + C$ por $e^{5 x}$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $e^{5 x} y = \frac{12}{5} e^{5 x} + C$ por $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{\frac{12}{5} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $e^{5 x}$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{\frac{12}{5} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{\frac{12}{5} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Cancele o fator comum de $e^{5 x}$ .

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Etapa 7.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\frac{12}{5} e^{5 x}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Etapa 7.3.1.2

Divida $\frac{12}{5}$ por $1$ .

$y = \frac{12}{5} + \frac{C}{e^{5 x}}$