Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = y^{2} + 9$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y^{2} + 9}$ .

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Etapa 1.2

Cancele o fator comum de $y^{2} + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 9} (y^{2} + 9)$

Etapa 1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y^{2} + 9} \frac{d y}{d x} = 1$

Etapa 1.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y^{2} + 9} d y = 1 d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y^{2} + 9} d y = \int d x$

Etapa 2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Reordene $y^{2}$ e $9$ .

$\int \frac{1}{9 + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\int \frac{1}{3^{2} + y^{2}} d y = \int d x$

Etapa 2.2.2

A integral de $\frac{1}{3^{2} + y^{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.2.3.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.2.3.2

Reescreva $\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} + C_{1}$ como $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1}$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = \int d x$

Etapa 2.3

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ por $3$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) = x + K$ por $3$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{1}{3} y) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y$ .

$\frac{1}{3} \arctan (\frac{y}{3}) \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\arctan (\frac{y}{3})$ .

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\arctan (\frac{y}{3})}{3} \cdot 3 = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\arctan (\frac{y}{3}) = x \cdot 3 + K \cdot 3$

Etapa 3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.3.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 \cdot x + K \cdot 3$

Etapa 3.1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $K$ .

$\arctan (\frac{y}{3}) = 3 x + 3 K$

Etapa 3.2

Calcule o arco tangente inverso dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro do arco tangente.

$\frac{y}{3} = \tan (3 x + 3 K)$

Etapa 3.3

Multiplique os dois lados da equação por $3$ .

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Etapa 3.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{y}{3} = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva a expressão.

$y = 3 \tan (3 x + 3 K)$

Etapa 4

Simplifique a constante de integração.

$y = 3 \tan (3 x + K)$