Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Etapa 1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reagrupe os fatores.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Etapa 1.2

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Etapa 1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $y$ de $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Etapa 1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Etapa 1.4

Reescreva a equação.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Etapa 2.2

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante com relação a $x$ , mova $6$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Etapa 2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.1

Negative o expoente de $e^{2 - x^{3}}$ e o mova para fora do denominador.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2.2.4

Multiplique $- x^{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 2.3.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Etapa 2.3.2.2.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Etapa 2.3.3

Deixe $u = - 2 + x^{3}$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.3.1

Deixe $u = - 2 + x^{3}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Diferencie $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Etapa 2.3.3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 + x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.3.1.3

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.3.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Etapa 2.3.3.1.5

Some $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2.3.3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 2.3.4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Etapa 2.3.5

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.6

Simplifique.

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Etapa 2.3.6.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.6.2

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

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Etapa 2.3.6.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.6.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.6.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.7

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.8

Simplifique.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Etapa 3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Para resolver $y$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Etapa 3.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Etapa 4

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 4.1

Reescreva $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ como $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Etapa 4.2

Reordene $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Etapa 4.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Etapa 5

Use a condição inicial para encontrar o valor de $C$ , substituindo $0$ por $x$ e $1$ por $y$ em $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Etapa 6

Resolva $C$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Etapa 6.2.2

Some $- 2$ e $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Etapa 6.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Etapa 6.2.4

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ por $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ por $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Etapa 6.3.2.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Etapa 7

Substitua $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ por $C$ em $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ por $C$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ e $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Etapa 7.3

Fatore $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ de $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Etapa 7.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.4.1

Multiplique por $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Etapa 7.4.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Etapa 7.4.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Etapa 7.4.4

Divida $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ por $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Etapa 7.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.5.1

Fatore $2$ de $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1.1

Fatore $2$ de $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Etapa 7.5.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Etapa 7.5.1.3

Fatore $2$ de $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Etapa 7.5.2

Multiplique $e^{- 2 + x^{3}}$ por $e^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.5.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Etapa 7.5.2.2

Combine os termos opostos em $- 2 + x^{3} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Some $- 2$ e $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Etapa 7.5.2.2.2

Some $x^{3}$ e $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$