Cálculo Exemplos

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Etapa 1

Deixe $v = \frac{d y}{d x}$ . Depois, $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Substitua $v$ por $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ por $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ para obter uma equação diferencial com a variável dependente $v$ e a variável independente $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

Etapa 2

Separe as variáveis.

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Etapa 2.1

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $v$ .

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Etapa 2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Etapa 2.3

Reescreva a equação.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Etapa 3

Integre os dois lados.

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Etapa 3.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Etapa 3.2

A integral de $\frac{1}{v}$ com relação a $v$ é $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Etapa 3.3

Aplique a regra da constante.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Etapa 3.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Etapa 4

Resolva $v$ .

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Etapa 4.1

Para resolver $v$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Etapa 4.2

Reescreva $\ln (| v |) = x + C_{3}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Etapa 4.3

Resolva $v$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Etapa 4.3.2

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Etapa 5

Agrupe os termos da constante.

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Etapa 5.1

Reescreva $e^{x + C_{3}}$ como $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Etapa 5.2

Reordene $e^{x}$ e $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Etapa 5.3

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$v = C_{4} e^{x}$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $v$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Etapa 7

Reescreva a equação.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Etapa 8

Integre os dois lados.

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Etapa 8.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Etapa 8.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Etapa 8.3

Integre o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Como $C_{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $C_{4}$ para fora da integral.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Etapa 8.3.2

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Etapa 8.3.3

Simplifique.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Etapa 8.3.4

Reordene os termos.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Etapa 8.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $D$ .

$y = e^{x} C + D$