Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

Etapa 1

Deixe $V = \frac{y}{x}$ . Substitua $V$ por $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

Etapa 2

Resolva $V = \frac{y}{x}$ para $y$ .

$y = V x$

Etapa 3

Use a regra do produto para encontrar a derivada de $y = V x$ com relação a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Etapa 4

Substitua $x \frac{d V}{d x} + V$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

Etapa 5

Resolva a equação diferencial substituída.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Separe as variáveis.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Resolva $\frac{d V}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $\frac{d V}{d x}$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1.1

Subtraia $V$ dos dois lados da equação.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

Etapa 5.1.1.1.2

Subtraia $V$ de $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

Etapa 5.1.1.2

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ por $x$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.1

Divida cada termo em $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ por $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 5.1.1.2.2.1.2

Divida $\frac{d V}{d x}$ por $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Etapa 5.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

Etapa 5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

Etapa 5.1.3

Multiplique os dois lados por $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Etapa 5.1.4

Cancele o fator comum de $3 - 2 V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Etapa 5.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Etapa 5.1.5

Reescreva a equação.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2

Integre os dois lados.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2

Integre o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Deixe $u = 3 - 2 V$ . Depois, $d u = - 2 d V$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d V$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Deixe $u = 3 - 2 V$ . Encontre $\frac{d u}{d V}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.1

Diferencie $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - 2 V$ com relação a $V$ é $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Etapa 5.2.2.1.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $3$ em relação a $V$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Etapa 5.2.2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $V$ , a derivada de $- 2 V$ em relação a $V$ é $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

Etapa 5.2.2.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ é $n V^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 5.2.2.1.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 5.2.2.1.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.5

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.6

Simplifique.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.2.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Etapa 5.2.3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Etapa 5.2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

Etapa 5.3

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.1

Combine $\ln (| 3 - 2 V |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2.1.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2.1.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2.1.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2.1.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2.1.1.3.2

Multiplique $\ln (| 3 - 2 V |)$ por $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Etapa 5.3.3

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Etapa 5.3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Simplifique $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1.1

Simplifique $2 \ln (| x |)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Etapa 5.3.4.1.1.2

Remova o valor absoluto em ${| x |}^{2}$ , porque exponenciações com potências pares são sempre positivas.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Etapa 5.3.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

Etapa 5.3.4.1.3

Reordene os fatores em $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

Etapa 5.3.5

Para resolver $V$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

Etapa 5.3.6

Reescreva $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

Etapa 5.3.7

Resolva $V$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Reescreva a equação como $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

Etapa 5.3.7.2

Divida cada termo em $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ por $x^{2}$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.2.1

Divida cada termo em $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Etapa 5.3.7.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.2.2.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Etapa 5.3.7.2.2.1.2

Divida $| 3 - 2 V |$ por $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Etapa 5.3.7.3

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Etapa 5.3.7.4

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Etapa 5.3.7.5

Divida cada termo em $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.5.1

Divida cada termo em $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 5.3.7.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 5.3.7.5.2.1.2

Divida $V$ por $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 5.3.7.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.5.3.1.1

Simplifique $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Etapa 5.3.7.5.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 5.4

Agrupe os termos da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique a constante de integração.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 5.4.2

Combine constantes com o sinal de mais ou menos.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 6

Substitua $\frac{y}{x}$ por $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 7

Resolva $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique os dois lados por $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1.1

Combine $C$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2.2.1.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2.2.1.1.3

Combine.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2.2.1.1.4

Multiplique $C$ por $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2.2.1.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

Etapa 7.2.2.1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.2.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Etapa 7.2.2.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Etapa 7.2.2.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

Etapa 7.2.2.1.2.3

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

Etapa 7.2.2.1.2.4

Reordene $\frac{C}{2 x}$ e $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$