Cálculo Exemplos

$\frac{d y}{d x} = 16 e^{- 4 x}$

Etapa 1

Reescreva a equação.

$d y = 16 e^{- 4 x} d x$

Etapa 2

Integre os dois lados.

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Etapa 2.1

Determine uma integral de cada lado.

$\int d y = \int 16 e^{- 4 x} d x$

Etapa 2.2

Aplique a regra da constante.

$y + C_{1} = \int 16 e^{- 4 x} d x$

Etapa 2.3

Integre o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Como $16$ é constante com relação a $x$ , mova $16$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 16 \int e^{- 4 x} d x$

Etapa 2.3.2

Deixe $u = - 4 x$ . Depois, $d u = - 4 d x$ , então, $- \frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.3.2.1

Deixe $u = - 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Diferencie $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Etapa 2.3.2.1.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Etapa 2.3.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$- 4$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = 16 \int e^{u} \frac{1}{- 4} d u$

Etapa 2.3.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + C_{1} = 16 \int e^{u} (- \frac{1}{4}) d u$

Etapa 2.3.3.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = 16 \int - \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 2.3.4

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$y + C_{1} = 16 (- \int \frac{e^{u}}{4} d u)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$y + C_{1} = - 16 \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Etapa 2.3.6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$y + C_{1} = - 16 (\frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Etapa 2.3.7

Simplifique.

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Etapa 2.3.7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 16$ .

$y + C_{1} = \frac{- 16}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.7.2

Cancele o fator comum de $- 16$ e $4$ .

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Etapa 2.3.7.2.1

Fatore $4$ de $- 16$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 4}{4} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.3.7.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y + C_{1} = \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y + C_{1} = \frac{- 4}{1} \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.7.2.2.4

Divida $- 4$ por $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Etapa 2.3.8

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Etapa 2.3.9

Simplifique.

$y + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Etapa 2.3.10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 4 x$ .

$y + C_{1} = - 4 e^{- 4 x} + C_{2}$

Etapa 2.4

Agrupe a constante de integração no lado direito como $K$ .

$y = - 4 e^{- 4 x} + K$